Atribución-NoComercial-SinDerivadas 4.0 Internacional Esta licencia es la más restrictiva de las seis licencias principales Creative Commons, permitiendo a otras solo descargar sus obras y compartirlas con otras siempre y cuando den crédito, pero no pueden cambiarlas de forma alguna ni usarlas de forma comercial. http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0 http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/ http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/ GACIONA UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA EVALUACIÓN DE ORIGINALIDAD CONSTANCIA El que suscribe, deja constancia que se ha rcalizado el análisis con el software de verificación de similitud al documento cuyo título es: Presentado por: "POLINOMIO CARACTERÍSTICO DE LA REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS DE DIMENSIÓN FINITA" CONTRERAS TORRES, YANET ELVIRA Egresado del nivel Pregrado de la Facultad de Ciencias. El resultado obtenido es el 11% de Similitud, por el cual se otorga el calificativo de: APROBAD0, según Reglamento de Evaluación de la Originalidad Se adjunta al presente el reporte de evaluación con el software de verificación de originalidad. Ica, 27 de fma�zo dey2024 UNIVERSIDAD NA�IONAANIS GONZASA" FACUL DIRECCION CNRS, Jo1RECTORie) i UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN LUIS GONZAGA” VICERRECTORADO DE INVESTIGACIÓN Facultad de Ciencias “Polinomio característico de la representación matricial de operadores lineales en espacios de dimensión finita” Línea de Investigación Ciencias Naturales, Ingeniería y Tecnologías Sostenibles TESIS BACH: CONTRERAS TORRES, YANET ELVIRA Ica - Perú 2024 ii DEDICATORIA Dedicado a mi padre celestial, por su amor incondicional por ser mi fuente de inspiración y motivación constante en todo este proceso de la tesis, solo gracias a él lo he concluido y por permitirme darme salud y por su infinita misericordia. A mi madre Martina por sus oraciones, y apoyo constante que hicieron posible lograr mis objetivos. También a todos mis hermanos que creyeron en mí. iii AGRADECIMIENTO Agradecer a la Dra. Merly Liliana Yataco Bernaola, por su asesoramiento, dedicación y su apoyo incondicional en el desarrollo de la tesis. A la Escuela Profesional de Matemática e Informática de la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional San Luis Gonzaga, por brindar una excelente formación académica a todos los alumnos sin excepción, para todos ellos mi agradecimiento eterno. iv ÍNDICE RESUMEN ABSTRACT I. INTRODUCCIÓN 7 II. ESTRATEGIAS METODOLOGICAS 8 III. RESULTADOS 9 IV. DISCUSIÓN 58 V. CONCLUSIONES 59 VI. RECOMENDACIONES 60 VII. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 61 VIII. ANEXOS 62 v RESUMEN El trabajo de investigación se inicia con algunos aspectos básicos del algebra lineal, curso que se dicta en la Facultad de Ciencias donde he culminado mis estudios de pregrado. Los temas que sea tomado para el trabajo se enumeran en el siguiente orden. Primero, inicio con la definición de espacio vectorial y se demuestran algunas propiedades importantes. Luego se define una transformación lineal de un espacio vectorial a otro, generalmente un espacio vectorial diferentes, pero sobre el mismo campo. Cuando una transformación lineal se define sobre dos espacios vectoriales iguales, hablamos de operadores lineales. Defino la representación matricial de una transformación lineal por ende de un operador lineal, esta representación matricial la usaremos en este trabajo de tesis. Para estas matrices que son las representaciones matriciales definimos el valor y vector propio, luego entramos a los polinomios característicos, a la semejanza de matrices y sus propiedades en particular que las matrices semejantes tienen el mismo polinomio característico. Finalmente se estudiará algunos métodos iterativos para el cálculo del polinomio característico de una matriz. Los métodos estudiados son en este orden: - Método de Danilevsky. - Método de Krylov - Método de Le verrier Se dan algunos ejemplos de aplicación de estos métodos. Se deja la tarea de otra investigación para estudiar o implementar un software para ejecutar estos métodos en la computadora. Palabra claves. Operador lineal; representación matricial; polinomio característico; valores propios. vi ABSTRACT The research work begins with some basic aspects of linear algebra, a course that is taught at the Faculty of Sciences where I have completed my undergraduate studies. The topics that have been taken up for the work are listed in the following order. First, we start with the definition of a vector space and demonstrate some important properties. Then a linear transformation is defined from one vector space to another, generally a different vector spaces, but over the same field. When a linear transformation is defined on two equal vector spaces, we speak of linear operators. I define the matrix representation of a linear transformation therefore of a linear operator, we will use this matrix representation in this thesis work. For these matrices, which are the matrix representations, we define the value and eigenvector, then we enter the characteristic polynomials, the similarity of matrices and their properties, in particular that similar matrices have the same characteristic polynomial. Finally, some iterative methods for calculating the characteristic polynomial of a matrix will be studied. The methods studied are in this order: - Danilevsky method - Krylov method - Le verrier method Some examples of application of these methods are given. The task of another investigation is left to study or implement software to execute these methods on the computer. Keywords. Linear operator; its matrix representation; characteristic polynomial; Own values 7 I. INTRODUCCIÓN En el estudio del cálculo matricial se enuncian diferentes definiciones tales como las operaciones entre matrices, los tipos de matrices, las matrices cuadradas. En estas matrices cuadradas que pueden ser las representaciones matriciales de ciertas transformaciones lineales (en este caso operadores lineales) se definen el determinante de una matriz, matrices inversas, en general no todas las matrices cuadradas tienen inversa. En estas matrices cuadradas se define el valor y vector propio, y para el cálculo de los valores propios es de mucha utilidad el concepto de determinante de una matriz. El concepto de determinante de una matriz es de mucha utilidad para el cálculo de los valores propios, sin embargo, este método es en la mayoría de veces muy tedioso y muy complicado, para evitar estos cálculos difíciles, se hace este trabajo de investigación titulado “Polinomio característico de la representación matricial de operadores lineales en espacios de dimensión finita”. Se estudian tres métodos de cálculo de los coeficientes del polinomio característico: para cada método se deduce los pasos requeridos y se llega a la solución deseada. Con esto llegamos a concluir con los objetivos de la investigación planteada. 8 II. ESTRATEGIA METODOLÓGICA 2.1. Tipo y diseño de la investigación. 2.1.1. Tipo de investigación. Es de tipo básico, en esta investigación no se hace uso de métodos estadísticos. 2.1.2. Diseño de investigación El diseño es Descriptivo – comparativo. 2.2. Técnicas e instrumentos de recolección de la información. 2.2.1. Técnicas de recolección de la información. Utilice la documentación para cada una de las variables consideradas en la investigación y así poder obtener la información de datos como la teoría y propiedades de los espacios vectoriales y las transformaciones lineales. Todo esto ayudará a construir las estrategias metodológicas para obtener los resultados en esta investigación 2.2.2. Instrumentos de recolección de datos. Para cumplir con los objetivos, probar las hipótesis planteadas, usaremos: - Instrumento documental: Bibliotecas especializadas en matemáticas donde se encuentren los libros de Análisis Matemático, Teoría de la Medida e Integración. - Instrumentos mecánicos como una Laptop implementada con internet para descargar los libros con los datos requeridos. Una impresora para recolectar y ordenar los datos. 2.2.3. Análisis e interpretación de los resultados. Los datos que se obtengan, tales como los teoremas y propiedades serán analizadas y probadas para su validez. Para la comprobación de los resultados se estudiarán algunas propiedades básicas de la teoría de integración y producto de espacios medibles. 9 III. RESULTADOS 3.1. CONCEPTOS BASICOS 3.1.1. Espacio Vectorial. Definición 1. Sea G un conjunto no vacío, donde está definida una operación binaria " " . Decimos que el par ( , )G  es un grupo si se cumple 1. a b G  ; ,a b G  (cerradura) 2. ( ) ( )a b c a b c     ; , ,a b c G (Ley asociativa) 3. e G  tal que a e e a a    ; a G (existencia del elemento identidad en G ) 4. , 'a G a G    tal que ' 'a a a a e    (elemento inverso en G ) Nota. Si en el grupo ( , )G  se verifica que a b b a   , decimos que el grupo ( , )G  es un grupo abeliano [1]. Definición 2. (Campo o cuerpo). Sea K un conjunto no vacío y dos operaciones (binarias) y  , definidas en K . Decimos que ( , , )K   es un campo si se cumple los siguientes axiomas ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ [2]. 1A : a b K  Ley de la cerradura. 2A : a b b a   Ley conmutativa. 3A : ( ) ( )a b c a b c     Ley asociativa. 4A : / ,K a a a K       Elemento cero con respecto a  5A : Para cada , ' / 'a K a K a a      Elemento inverso 1M : a b K  Ley de la cerradura. 2M : a b b a   Ley conmutativa. 3M : ( ) ( )a b c a b c     Ley asociativa. 10 4M : / ,e K a e a a K      Elemento cero con respecto a  5M : Para cada 1 1, , /a K a a K a a e        Elemento inverso 1D : ( ) ( ) ( )a b c a b a c      Ley distributiva. Nota: Las propiedades de 1A hasta 5A afirman que ( , )K  es un grupo abeliano. Las propiedades de 1M hasta 5M afirman que  ( , )K   es un grupo abeliano. Definición 3. Sea el campo ( , , )K   y e el elemento unitario de K : 1. Si ...n e e e e e        (n-veces), para todo n entero positivo, se dice que el campo K es de característica cero. 2. Si ...n e e e e e        para algún n y si m es el menor entero positivo tal que ...m e e e e e        (m-veces), se dice que el campo K es de característica m [2]. Definición 4. Se llama subcampo de un campo ( , , )K   a toda L , 𝐿 ⊂ 𝕂 estable respecto a las leyes de 𝕂 y tal que la estructura inducida sobre L por estas leyes sea una estructura de campo. Equivalentemente: Sea ( , , )K   un campo, el subconjunto no vacío L es subcampo de K si ( , , )K   es un campo [2]. Definición 5. Un espacio vectorial 𝕍 sobre un campo 𝕂 es un conjunto no vacío de elementos llamados vectores con dos leyes de combinación (operaciones) llamadas adición vectorial (o adición) y multiplicación por escalar que satisface las siguientes condiciones: [3]. Primero para la adición " " satisface 1 :A 𝑣1 + 𝑣2 ∈ 𝕍 ; ∀ 𝑣1, 𝑣2 ∈ 𝕍 2 :A 1 2 2 1v v v v   3 :A 1 2 3 1 2 3( ) ( )v v v v v v     11 4 :A ∃ 𝟎 ∈ 𝕍 ∶ 0 + 𝑣 = 𝑣; ∀ 𝑣 ∈ 𝕍 (elemento cero) 5 :A Para cada 𝑣 ∈ 𝕍, ∃ − 𝑣 ∈ 𝕍: 𝑣 + (−𝑣) = 0 (elemento inverso para la adición) Segundo: para la operación “.” 1 :M 1 ;r v V  :r K v V    2 :M 1 2 1 2( )r v v r v r v      1 2: ,r K v v V    3 :M ( )r s v r v s v      , :r s K v V    4 :M ( ) ( )r s v r s v     5 :M 1 v v  , donde 1 V (es el elemento unidad) Definición 6. (Combinación lineal). Sea V un espacio vectorial sobre un campo K y 1 2, ,..., nv v v vectores en V, entonces 1 1 2 2 1 ... n i i n n i rv r v r v r v      es una combinación lineal de los vectores 1 2, ,..., nv v v , donde ir K [3]. Definición 7. Si V es un espacio vectorial sobre K y si 1 2, ,..., nv v v son vectores en V, decimos que tales vectores son linealmente dependientes (L.D.) sobre K, si existen elementos 1 2, ,..., nr r r en K no todos ceros tales que 1 1 2 2 ... 0n nr v r v r v    ( 0 V , vector nulo) Si los vectores 1 2, ,..., nv v v no son LD sobre K, se dice que son linealmente independientes (L.I.) sobre K. Teorema 1. Si  1 2, ,..., nv v v V , entonces solo puede suceder uno de los dos casos 1.  1 2, ,..., nv v v es linealmente independiente 2. Alguno de los iv es combinación lineal de los anteriores. Demostración: 12 Solo puede suceder que  1 2, ,..., nv v v es linealmente independiente o es linealmente dependiente. 1. Si  1 2, ,..., nv v v es linealmente independiente, no hay nada que probar. 2. Si  1 2, ,..., nv v v es linealmente dependiente, entonces en 1 1 2 2 ... 0n nr v r v r v       , existen escalares 0jr  para algún j. Ordenando todos los escalares jr que son no nulos, tenemos 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1... ... 0k k k k n ns v s v s v s v s v           Donde : 1,2,...,is i k son no nulos y : 1, 2,...,is i k k n   son nulos. Entonces 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 ( ... )k k k k v s v s v s v s        Definición 8. Sea S un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V. El conjunto de todas las combinaciones lineales de vectores de S se llama conjunto generado por S y se denota por ( )Sp S S   = conjunto de todas las combinaciones lineales de elementos de S Definición 9. Un subespacio W de un espacio vectorial V es un subconjunto no vacío de V que es asimismo un espacio vectorial con respecto a las operaciones de adición y multiplicación por escalar definidas en V [3]. 3.1.2. Transformaciones Lineales. Definición 10. Sean 𝕌 y 𝕍 dos espacios vectoriales, una función 𝑇: 𝕌 ⟶ 𝕍, se llama transformación lineal en 𝕌 y 𝕍 si tiene las propiedades siguientes [4]: i) ( ) ( ) ( )T T T      ; ∀𝛼, 𝛽 ∈ 𝕍 ii) ( ) ( )T k kT  ; ∀𝛼 ∈ 𝕍, ∀ 𝑘 ∈ 𝕂 esto significa que T conserva la adición y la multiplicación por escalar. Las dos propiedades i) y ii) pueden combinarse en una sola ( ) ( ) ( )T r s rT sT      , ∀𝛼, 𝛽 ∈ 𝕍, ∀ 𝑟, 𝑠 ∈ 𝕂 Ejemplo 1. 13 a) Transformación idéntica: 𝑇: 𝕍 ⟶ 𝕍, definida por ( )T   , ∀𝛼 ∈ 𝕍, se denota por 𝐼𝕍 . Pues: )()()(  TTT  )()(  kTkkT  b) Transformación cero: 𝑇: 𝕍 ⟶ 𝕍 definida por ( ) 0T   , ∀𝛼 ∈ 𝕍, se denota por 0𝕍 Pues: )()(000)(  TTT  )()0(0)(  kTkkT  c) 𝑇: ℝ3 ⟶ ℝ2 definida por ( , , ) (2 ,3 4 )T x y z x y y z   , ∀𝛼 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3, es una transformación lineal. Pues: Sea 𝛼 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) ∈ ℝ3 y 𝛽 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) ∈ ℝ3 𝛼 + 𝛽 = (𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2, 𝑧1 + 𝑧2) ∈ ℝ3 Primero: 𝑇(𝛼 + 𝛽) = 𝑇(𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2, 𝑧1 + 𝑧2) 𝑇(𝛼 + 𝛽) = (2(𝑥1 + 𝑥2) + (𝑦1 + 𝑦2), 3(𝑦1 + 𝑦2) − 4(𝑧1 + 𝑧2)) 𝑇(𝛼 + 𝛽) = (2𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑦1 + 𝑦2, 3𝑦1 + 3𝑦2 − 4𝑧1 − 4𝑧2) 𝑇(𝛼 + 𝛽) = (2𝑥1 + 𝑦1, 3𝑦1 − 4𝑧1) + (2𝑥2 + 𝑦2, 3𝑦2 − 4𝑧2) 𝑇(𝛼 + 𝛽) = 𝑇(𝛼) + 𝑇(𝛽) Segundo: 𝑇(𝑘𝛼) = 𝑇(𝑘𝑥1, 𝑘𝑦1, 𝑘𝑧1) 𝑇(𝑘𝛼) = (2(𝑘𝑥1) + (𝑘𝑦1), 3(𝑘𝑦1) − 4(𝑘𝑧1)) 𝑇(𝑘𝛼) = 𝑘(2𝑥1 + 𝑦1, 3𝑦1 − 4𝑧1) 𝑇(𝑘𝛼) = 𝑘𝑇(𝛼) 14 d) 𝑇: ℝ2 ⟶ ℝ3 definida por ( , ) ( , , )T x y x x y x y   , ∀𝛼 = (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2, es una transformación lineal. La verificación es similar al ejemplo c) Definición 11. Una transformación lineal 𝑇: 𝕍1 ⟶ 𝕍2 es uno a uno (o inyectiva) si: 1 2  implica que 1 2( ) ( )T T  En forma equivalente: 1 2( ) ( )T T  implica que 1 2  Ejemplo 2. 1) 𝑇: ℝ2 ⟶ ℝ2, definida por ( , ) ( , )T x y x y x y   es uno a uno. En efecto: Sea ),( 111 yx y ),( 222 yx Entonces: )()( 21  TT  )()( 21  TT  ),(),( 22221111 yxyxyxyx  212121 2211 2211 22 yyxxxx yxyx yxyx        ),(),( 2211 yxyx  21   2. 𝑇: ℝ3 ⟶ ℝ3 definida por ( , , ) ( , ,0)T x y z x y (proyección) no es uno a uno. Pues: )0,,(),,(),,( yxbyxTayxT  Sin embargo: ),,(),,( byxayx  , para ba  Nota: 1) Si T es univalente diremos que T es no singular. 2) Se cumple para 𝑇: 𝕍1 ⟶ 𝕍2 una aplicación lineal que 1 2(0 ) 0T  15 3)  1 2 3 1 2 3( ) ( )T T          En general por inducción sobre n, 1 2 1 2 3( ... ) ( ) ( ) ... ( )nT T T T            , o En forma abreviada: 1 1 ( ) n n i i i i T T            4)  1 2 1 2( ) ( )T T       5) El subconjunto de 𝕍1: 𝑇−1(02) = {𝛼𝜖𝕍1; 𝑇(𝛼) = 02} Es un subespacio vectorial de 𝕍1 llamado el subespacio nulo de T y se denota por 1 2(0 ) ( )T N T  (núcleo de T o Kernel de T). 6) El subconjunto de 𝕍2: 𝑇(𝕍1) = {𝑇(𝛼): 𝛼 𝜖 𝕍1}, es un subespacio de 2V llamada la imagen de T. Definición 12. Una transformación lineal 𝑇: 𝕍1 ⟶ 𝕍2 es suryectivo (o sobreyectivo), si 𝑇(𝕍1) = 𝕍2 Teorema 2: Sea 𝑇: 𝕍1 ⟶ 𝕍2 una aplicación lineal. Entonces T es inyectivo si y solo si  1( ) 0N T  NOTA: 1. La dimensión del núcleo de T si existe la llamaremos nulidad de T. Denotamos por  dim ( ) ( )N T T   . 2. La dimensión del subespacio 𝑇(𝕍1) la llamaremos rango de T. Denotaremos por dim(𝑇(𝕍1)) = 𝑟(𝑇) = 𝑟 Definición 13. Sean 𝕍1, 𝕍2 espacios vectoriales sobre el campo 𝕂, una aplicación lineal 𝑇: 𝕍1 ⟶ 𝕍2 se llama isomorfismo lineal si es que T es inyectivo. 16 Si existe un isomorfismo lineal 𝑇: 𝕍1 ⟶ 𝕍2 se dice que 𝕍1 y 𝕍2 son linealmente isomorfos [5]. 3.1.3. Matriz asociada a una transformación lineal. Primero: Consideremos un caso especial: 𝑻: 𝕂𝒏 ⟶ 𝕂 una aplicación lineal. Se prueba que existe un vector A en 𝕂𝒏 tal que ( )T x Ax . Segundo: Sea Ahora 𝑻: 𝕂𝒏 ⟶ 𝕂𝒎 una aplicación lineal del espacio vectorial 𝕂𝒏 sobre el espacio vectorial 𝕂𝒎. Sean 1 2, ,..., ne e e los vectores columna unitarios en 𝕂𝒏 y sean 1 2, ,..., m   los vectores columna unitarios en 𝕂𝒎, se tiene que x 𝕂𝒏, nnn exexexxxxx  ...),...,,( 221121 , donde jx es la componente j de x . )(...)()()( 2211 nn eTxeTxeTxxT  También: mmaaaeT  12211111 ...)(  mmaaaeT  22221122 ...)(  - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - mmnnnn aaaeT   ...)( 2211 En términos de los vectores columna 11 21 1 1 ( ) m a a T e a             , 12 22 2 2 ( ) m a a T e a             , . . . , 1 2 ( ) n n n mn a a T e a             Por lo tanto:    mmnnnnmm aaaxaaaxxT   .........)( 221112211111     mnmnmnn xaxaxaxaxT   .........)( 1111111 En consecuencia se hacemos: ijA a    , entonces se ve que ( )T x Ax Desarrollada completamente, esta expresión tiene la siguiente forma: 17 11 12 1 1 11 1 12 2 1 21 22 2 2 21 1 22 2 2 1 2 1 1 2 2 ... ... ... n n n n n n m m mn n m m mn n a a a x a x a x a x a a a x a x a x a x a a a x a x a x a x                                            Así T es una aplicación lineal asociada a la matriz A . También designamos a A como la matriz asociada con la aplicación lineal T . Esta matriz es única. ( )T x Ax . Tercero: Sea 𝑇: 𝕍1 ⟶ 𝕍2 una aplicación lineal y dim (𝕍1) = 𝑛, dim (𝕍2) = 𝑚 y las bases (fijas y ordenadas)  1 2, ,..., nB    y  1 2' , ,..., mB    de 𝕍1 y 𝕍2 Para 𝛼𝑗 ∈ 𝕍1, 𝑇(𝛼𝑗) ∈ 𝕍2 1 11 1 21 2 1( ) ... m mT a a a       2 12 1 22 2 2( ) ... m mT a a a       . . . . . . . . 1 1 2 2( ) ...n n n mn mT a a a       O 1 ( ) m j ij i i T a    Definimos la traspuesta de la matriz A de los coeficientes como la representación matricial de T en las bases 'B y B [5]. Notación:   11 12 1 ' 21 22 2 1 2 n B n B m m mn m n a a a a a a T a a a              Ejemplo 3. Sea 𝑇: ℝ4 ⟶ ℝ3 definida por ( , , , ) ( , 2 , 3 3 )T x y z u x y z u x z u x y z u         Consideremos las bases    1 2 3 4, , , (1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1)B e e e e  de ℝ4    1 2 3' , , (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)B     de ℝ3 1 1 2 3( ) (1,0,0,0) (1,1,1) 1 1 1T e T        18 2 1 2 3( ) (0,1,0,0) ( 1,0,1) 1 0 1T e T          3 1 2 3( ) (0,0,1,0) (1,2,3) 1 2 3T e T        4 1 2 3( ) (0,0,0,1) (1, 1, 3) 1 1 3T e T            ' 3 4 1 1 1 1 1 0 2 1 1 1 3 3 B B T             Ejemplo 4. Para el ejemplo anterior, consideramos la misma transformación lineal y sean    1 2 3 4, , , (1,1,1,1), (0,1,1,1), (0,0,1,1), (0,0,0,1)B      de ℝ4    1 2 3' , , (1,1,1), (0,1,1), (0,0,1)B     de ℝ3 1 1 2 3( ) (1,1,1,1) (2,2,2) 2 0 0T T        2 1 2 3( ) (0,1,1,1) (1,1,1) 1 0 0T T        3 1 2 3( ) (0,0,1,1) (2,1,0) 2 1 1T T        4 1 2 3( ) (0,0,0,1) (1, 1, 3) 1 2 2T T            ' 3 4 2 1 2 1 0 0 1 2 0 0 1 2 B B T               Ejemplo 5. Sea 𝕍 = {𝑐0 + 𝑐1𝑥 + 𝑐2𝑥2: 𝑐𝑖 ∈ ℝ} Sea :D V V definida por ( ) ',D p p p V   y  2 31, , ,B x x x una base de V. 2 3(1) 0 0(1) 0( ) 0( ) 0( )D x x x     2 3( ) 1 1(1) 0( ) 0( ) 0( )D x x x x     2 2 3( ) 2 0(1) 2( ) 0( ) 0( )D x x x x x     3 2 2 3( ) 3 0(1) 0( ) 3( ) 0( )D x x x x x     19 Entonces:   4 4 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 B B D              Definición 14. Una transformación lineal 𝑇: 𝕍1 ⟶ 𝕍2, donde 𝕍1 = 𝕍2, se llama OPERADOR LINEAL [6]. Teorema 2. Sea 𝕍 un espacio vectorial sobre 𝕂 ,  1 2, ,..., nB    una base de 𝕍 y 𝑇: 𝕍 ⟶ 𝕍 un operador. Entonces ∀ 𝑣 ∈ 𝕍 se cumple:      ( ) B B B T v T v Demostración: ∀ 𝑣 ∈ 𝕍,   1 2 1 1 2 2 ... n n B n r r v r r r r                      1 11 1 21 2 1( ) ... n nT a a a       2 12 1 22 2 2( ) ... n nT a a a       . . . . . . 1 1 2 2( ) ...n n n nn nT a a a       En 1 1 2 2 ... n nv r r r      1 1 2 2( ) ( ) ( ) ... ( )n nT v rT r T r T         1 11 1 21 2 1 2 12 1 22 2 2( ) ... ... ...n n n nT v r a a a r a a a               1 1 2 2 ...n n n nn nr a a a        1 11 2 12 1 1 1 21 2 22 2 2( ) ... ... ...n n n nT v r a r a r a r a r a r a           1 1 2 2 ...n n n nn nr a r a r a    20                   nnnnn nn nn B ararar ararar ararar T ... ... ... )( 2211 2222211 1122111                              nnnnn n n B r r r aaa aaa aaa T      2 1 21 22221 |11211 )(      BBB TT   )( En general el teorema es válido para 𝑇: 𝕌 ⟶ 𝕍, A base de 𝕌 y B base de 𝕍 Se cumple:      ( ) B B A A T T  Teorema 4. Sea  1 2, ,..., nB    una base ordenada de 𝕍 sobre 𝕂 y sea ( , )M n n el conjunto de las matrices cuadradas de orden n (con elementos en 𝕂). Entonces la aplicación : ( , ) ( , )Hom V V M n n  definida por  ( ) B T T  es un isomorfismo y para cualquier , ( , )S T Hom V V y para cualquier 𝑟 ∈ 𝕂       B B B T S T S       B B rT r T Demostración: i)  es uno a uno Debemos mostrar que:    ( ) ( ) B B T S T S    En efecto: 1 11 1 21 2 1 1( ) ... ( )n nT a a a S         2 12 1 22 2 2 2( ) ... ( )n nT a a a S         . . . . 1 1 2 2( ) ... ( )n n n nn n nT a a a S         Por lo tanto: T S ii)  es sobre Para cada matriz ( , )A M n n , existe ( , )T Hom V V tal que   T B T A 21 Luego:  es sobre. Por lo tanto  es un isomorfismo. Veamos que:       B B B T S T S       B B rT r T Primero: 1 ( ) ; 1, 2,..., n i ij j j T a i n     1 ( ) ; 1,2,..., n i ij j j S b i n     ijA a    y ijB b    . Entonces   T B T A y   T B S B También:   1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n i i i ij j ij j ij ij j j j j T S T S a b a b                  ij ijA B a b          ( )T T T B B B T S A B A B T S        Segundo: En forma análoga )())(( ii rTrT      n j jiji arrT 1 ))((     n j jiji rarT 1 )())((  ; ni ,...,2,1  ijrarA     ( )T T B B rT rA rA r T    Teorema 5. Para cualesquiera , ( , )S T Hom V V se cumple:       B B B ST S T Demostración: Tenemos: 1 ( ) n i ij j j T a    ; 1 ( ) n j jk k k S b    22 ijA a    , jkB b    . Luego:   T B T A y   T B S B Tenemos:   1 1 ( )( ) ( ) ( ) n n i i ij j ij j j j ST S T S a a S                 1 1 ( )( ) n n i ij jk k j k ST a b              1 1 ( )( ) n n i ij jk k j k ST a b              Pero:   1 / n ik ik ij jk j AB c c a b         ( )T T T B B B ST AB B A S T   3.1.4. VALORES PROPIOS Definición 15. Sea T un operador lineal de un espacio vectorial 𝕍 en si mismo, es decir 𝑇: 𝕍 ⟶ 𝕍, el número real  se dice que es un valor propio (o un eigen valor o valor característico) de T si existe un vector 0v tal que: vTv  , [7], [8] . Ejemplo 6. Para el operador lineal 𝑇: ℝ2 ⟶ ℝ2, definido por ),24(),( yxyxyxT  Calcular los valores y vectores propios. Resolución: Por definición: vTv  , para todo ),( yxv  en ℝ2 ),(),24( yxyxyx        )2...( )1(...24 yyx xyx   Despejamos y de la ecuación (1) x x yxxy 2 2 42    . . . (3) Sustituimos (3) en (2) 23              x x x x x 2 2 2 2    xxxxx  442 2  0652  xxx  0)65( 2  x 0)3)(2(0652   32   , son dos valores propios. Calculamos los vectores propios: Usando la ecuación 3: x x y 2 2   Para el valor propio: 2 , tenemos xyxxy  2 , esto es válido para cualquier valor 0x Para 1,1  yx , tenemos el vector propio )1,1( v . Todos los múltiplos de este vector, también es un vector propio. Para el valor propio: 6 , tenemos xyxxy 2 1 2 2 3  . Para 1,2  yx , tenemos el vector propio )1,2( v . Todos los múltiplos de este vector, también es un vector propio. En conclusión: los valores y vectores propios del operador lineal son 21  y )1,1(1 v 32  y )1,2(2 v Ejemplo 7. Para el operador lineal 𝑇: ℝ2 ⟶ ℝ2, definido por ),24(),( yxyxyxT  Calcular los valores y vectores propios. Resolución: Por definición: vTv  , para todo ),( yxv  en ℝ2 24 ),(),24( yxyxyx        )2...( )1(...24 yyx xyx   Otro método es utilizar la representación matricial del operador lineal. Tenemos la siguiente definición: Definición 16. Sea A una matriz cuadrada de orden n , un número real  se dice que es un valor propio (o un eigen valor o valor característico) de A si existe un vector 0x tal que: xAx  es decir, x es un vector que al transformarlo mediante la multiplicación por A el vector resultante mantiene su dirección, posiblemente solo su longitud y/o sentido se modifique. El vector x se llama vector propio o eigen vector asociado al valor propio  [9]. El conjunto de todos los valores propios de la matriz A se llama el espectro de A y se denota por )(A . Ejemplo 8. Para la matriz        12 21 A Se tiene: 1 1 1 2 1 3 1 3 3 2 1 1 3 1 Ax x                            , 1x es vector propio de A asociado al valor propio 1 3  . También 2 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 Ax x                               , 2x es vector propio de A asociado al valor propio 2 1   . En cambio 25 3 1 2 2 8 2 2 1 3 7 3 Ax                            , 3x no es vector propio de A . DETERMINACION DE LOS VALORES PROPIOS: Sea 0 un valor propio de A , si existe un vector 00 x tal que: 0 0 0Ax x 0 0 0nAx I x 0)( 00  xIA  Si: )( 0 nIAB  lo anterior significa que el sistema homogéneo nn  , 0Bx tiene además de la solución trivial otra solución ( 00  xx ). Por consiguiente, no tiene solución única. Y por tanto, el determinante de la matriz B debe ser cero: 0)det()det( 0  nIAB  Resumiendo: Todo valor propio 0 debe ser raíz del polinomio característico asociado a A . )det()( nA IAp   y un vector propio asociado al valor propio  debe ser solución del sistema homogéneo. 0)(  xIA n De los cursos básicos de algebra es importante recordar el teorema del factor. Ejemplo 9. Determinar los valores y vectores propios de la matriz 1 2 3 2 3 1 3 2 1 A           , Resolución: )det()( 3IApA   26                                 100 010 001 123 132 321 det)( Ap                             123 132 321 det)(Ap )2)(2)(3()3)(1)(2()1)(3)(1()(  Ap  )2)(2)(1()1)(1)(2()3)(3)(3(    )1(4)1(2)3(9126)3()1()( 2  Ap )1(6)3(918375)( 23  Ap  669272175)( 23 Ap 1285)( 23  Ap )6)(2)(1()(  Ap Valores propios: 6;2;1 321   (enteros) Calculo de los vectores propios: Para 1 1  , se resuelve: 1( ) 0A I X  1 2 3 1 2 3 1 0 0 2 3 1 1 0 1 0 0 3 2 1 0 0 1 x x x                                     Se encuentra el vector 1 2 2 2 2 3 2 2 / 3 2 3 3 2 / 3 2 x x x X x x x x                                   Se escoge como el primer vector propio: 1 2 3 2 X           Para 2 2   , se resuelve: 2( ) 0A I X  27 1 2 3 1 2 3 1 0 0 2 3 1 ( 2) 0 1 0 0 3 2 1 0 0 1 x x x                                      Se encuentra el vector 1 2 2 2 2 3 2 13 / 3 13 3 3 11 / 3 11 x x x X x x x x                                   Se escoge como el segundo vector propio: 2 13 3 11 X            Para 3 6  (valor propio dominante), se resuelve: 3( ) 0A I X  1 2 3 1 2 3 1 0 0 2 3 1 6 0 1 0 0 3 2 1 0 0 1 x x x                                     Se encuentra el vector 1 1 2 1 1 3 1 1 1 1 x x X x x x x x                                 Se escoge como el tercer vector propio: 3 1 1 1 X           Se forma la matriz  1 2 3 2 13 1 3 3 1 2 11 1 P X X X              La inversa de P : 1 1 2 13 1 1/15 1/ 5 2 /15 3 3 1 1/ 24 0 1/ 24 2 11 1 13 / 40 2 / 5 11/ 40 P                             Luego: 28 1 1/15 1/ 5 2 /15 1 2 3 2 13 1 1/ 24 0 1/ 24 2 3 1 3 3 1 13 / 40 2 / 5 11/ 40 3 2 1 2 11 1 P AP                                    1 1 0 0 0 2 0 0 0 6 P AP            Ejemplo 10. Determinar los valores y vectores propios de la matriz              1234 4123 4132 4321 A , Resolución: 6016396)( 234  p )10)(3)(2)(1()(  p Valores propios: 1 2 3 410; 1; 2; 3         Calculo de los vectores propios: Para 1 10  , se resuelve: 1( ) 0A I X  1 2 3 4 1 2 3 4 1 0 0 0 0 2 3 1 4 0 1 0 0 0 10 3 2 1 4 0 0 1 0 0 4 3 2 1 0 0 0 1 0 x x x x                                                         1 2 3 4 9 2 3 4 0 2 7 1 4 0 3 2 9 4 0 4 3 2 9 0 x x x x                                            1 2 3 4 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 x x x x                                             29 1 4 1 4 2 4 2 4 3 4 3 4 0 0 0 x x x x x x x x x x x x                  El vector 1 1 2 1 1 3 1 4 1 1 1 1 1 x x x x X x x x x x                                      Se escoge como el primer vector propio: 1 1 1 1 1 X             Para 2 1  , se resuelve: 1( ) 0A I X  1 2 3 4 1 2 3 4 1 0 0 0 0 2 3 1 4 0 1 0 0 0 1 3 2 1 4 0 0 1 0 0 4 3 2 1 0 0 0 1 0 x x x x                                                         1 2 3 4 0 2 3 4 0 2 2 1 4 0 3 2 0 4 0 4 3 2 0 0 x x x x                                            1 2 3 4 1 0 0 4 0 0 1 0 8 0 0 0 1 4 0 0 0 0 0 0 x x x x                                             1 4 2 4 3 4 4 8 4 x x x x x x        El vector 1 4 2 4 4 3 4 4 4 4 4 8 8 4 4 1 x x x x X x x x x x                                       30 Se escoge como el segundo vector propio: 2 4 8 4 1 X              Para 3 2   , se resuelve: ( 2 ) 0A I X  1 2 3 4 1 2 3 4 1 0 0 0 0 2 3 1 4 0 1 0 0 0 2 3 2 1 4 0 0 1 0 0 4 3 2 1 0 0 0 1 0 x x x x                                                         1 2 3 4 3 2 3 4 0 2 5 1 4 0 3 2 3 4 0 4 3 2 3 0 x x x x                                            1 2 3 4 1 0 0 3 / 7 0 0 1 0 5 / 7 0 0 0 1 9 / 7 0 0 0 0 0 0 x x x x                                             1 4 2 4 3 4 3 / 7 5 / 7 9 / 7 x x x x x x         El vector 1 4 2 4 4 3 4 4 4 3 / 7 3 5 / 7 51 9 / 7 97 7 x x x x X x x x x x                                        Se escoge como el tercer vector propio: 3 3 5 9 7 X              Para 4 3   , se resuelve: ( 3 ) 0A I X  31 1 2 3 4 1 2 3 4 1 0 0 0 0 2 3 1 4 0 1 0 0 0 3 3 2 1 4 0 0 1 0 0 4 3 2 1 0 0 0 1 0 x x x x                                                         1 2 3 4 4 2 3 4 0 2 6 1 4 0 3 2 4 4 0 4 3 2 4 0 x x x x                                            1 2 3 4 1 0 0 4 / 9 0 0 1 0 4 / 9 0 0 0 1 4 / 9 0 0 0 0 0 0 x x x x                                            1 4 2 4 3 4 4 / 9 4 / 9 4 / 9 x x x x x x          El vector 1 4 2 4 4 3 4 4 4 4 / 9 4 4 / 9 41 4 / 9 49 9 x x x x X x x x x x                                      Se escoge como el tercer vector propio: 4 4 4 4 9 X             Se forma la matriz  1 2 3 4 1 4 3 4 1 8 5 4 1 4 9 4 1 1 7 9 P X X X X                Se calcula: 1 119 / 468 10 / 39 85 / 468 4 /13 1/ 36 1/12 1/18 0 1/12 0 1/12 0 5 /12 1/ 52 1/ 26 1/13 P               Luego: 32 1 119 / 468 10 / 39 85 / 468 4 /13 1 2 3 4 1 4 3 4 1/ 36 1/12 1/18 0 2 3 1 4 1 8 5 4 1/12 0 1/12 0 3 2 1 4 1 4 9 4 5 /12 1/ 52 1/ 26 1/13 4 3 2 1 1 1 7 9 P AP                                           1 10 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 P AP             Teorema 6. Sea )(xp un polinomio. Un número c es raíz del polinomio )(xp , es decir 0)( cp si y sólo si )( cx  divide a )(xp . Es decir, al hacer la división de )(xp entre )( cx  el residuo es cero. Luego: )()()( xqcxxp  . Definición 17. (Multiplicidad algebraica de un valor propio). Sea A una matriz cuadrada y 0 un valor propio. Como hemos visto  debe ser raíz del polinomio característico de A , )(Ap , así: )( 0  divide a )(Ap . Al mayor exponente m que cumple: )()()( 0  qp m A  le llamaremos multiplicidad algebraica de 0 . Ejemplo 11. Para la transformación 𝑇: ℝ3 ⟶ ℝ3, se tiene que ieTA ][ , es               457 323 255 A Determine la multiplicidad algebraica de cada uno de los valores propios. Resolución: Tenemos que:   5 5 2 1 0 0 ( ) 3 2 3 0 1 0 7 5 4 0 0 1 p Det A I Det                                   33 5 5 2 ( ) 3 2 3 7 5 4 p Det                         ( ) (5 ) ( 2 )( 4 ) 15 5 ( 3)( 4 ) 21p                   ( 2) 15 7( 2 )    2( ) (5 ) ( 6 8) 15 5(3 12 21) 2(15 14 7 )p                   2( ) (5 )( 6 23) 5(3 9) 2(29 7 )p              2( ) (5 )( 6 23) 15 45 58 14p              2 3 2( ) 5 30 115 6 23 103p               223 )2)(3(128)(  Ap Luego: 31  (multiplicidad 1) y 22  (multiplicidad 2) Ejemplo 12. Para la transformación 𝑇: ℝ3 ⟶ ℝ3, se tiene que ieTA ][ , es             221 120 221 A Determine la multiplicidad algebraica de cada uno de los valores propios. Resolución: Tenemos:   1 2 2 1 0 0 ( ) 0 2 1 0 1 0 1 2 2 0 0 1 p Det A I Det                              1 2 2 ( ) 0 2 1 1 2 2 p Det                 223 )2)(1(485)(  p 34 Luego: 1 1  (multiplicidad 1) y 2 2  (multiplicidad 2) Ejemplo 13. Para la transformación 𝑇: ℝ5 ⟶ ℝ5, se tiene que ieTA ][ , es                       101000 400100 800010 800001 320000 A Determine la multiplicidad algebraica de cada uno de sus valores propios. Resolución: Hallando los valores propios:                             101000 40100 80010 80001 32000 )( DetIADet                       10100 4010 8001 8000 )()( DetIADet                 1000 100 010 001 )32(    Det                                       100 10 01 80 1010 401 800 )()(       DetDet                                     100 10 00 100 10 01 )32(     DetDet )]0(1)[32(]80)804010([)( 232   IADet 35 3280804010)( 2345  IADet 5)2()()(   IADetp Luego: 20)(  p es el único valor propio (de multiplicidad algebraica 5) Teorema 7. Sea A una matriz cuadrada y  un escalar, entonces  xAxRx n  / es un subespacio lineal de nR . Demostración: 1. No es vacío pues: 000 A . Es decir 0 es un elemento del conjunto. 2. Si 11 xAx  , 22 xAx  : )()( 21212121 xxxxAxAxxxA   Es decir, que si 21, xx son elementos del conjunto, la suma de ellos también es un vector del conjunto. 3. Si 11 xAx  y Si Rk  , entonces )()()()( 1111 kxxkxkAkxA   Esto prueba que  xAxRx n  / es un espacio lineal de nR . Definición 18. (Multiplicidad Geométrica de un valor propio). Por el resultado anterior: Siendo 0 un valor propio el conjunto  xAxRx n  / es un espacio lineal diferente de  0 así tiene dimensión mayor que cero: la dimensión del espacio anterior se llamara multiplicidad geométrica del valor propio 0 [10] . Teorema 8. La dimensión geométrica de un valor propio es menor o igual que la dimensión algebraica. Teorema 9. Si los vectores kvvv ,...,, 21 son vectores propios asociados a valores propios diferentes, entonces el conjunto formado por ellos es linealmente independiente. 36 Demostración: Sea i el valor propio el cual está asociado el vector iv . Supongamos que el conjunto de vectores es linealmente dependiente. Puesto que ningún vector propio puede ser el vector cero, de esta suposición deducimos entonces que un vector iv debe ser combinación lineal de los anteriores. Escojamos aquel que tiene el menor índice posible, digamos j, así: jv es combinación lineal de los anteriores para 1,...,3,2  ji . Tenemos 112211 ...  jjj vcvcvcv Multiplicando por, y utilizando que cada v es vector propio, obtenemos 112211 ...  jjj AvcAvcAvcAv 111222111 ...  jjjjj vcvcvcv  Si multiplicamos la primera de estas ecuaciones por j y se la restamos por la segunda obtenemos: 111222111 )(...)()(0   jjjjjj vcvcvc  Como el conjunto formado por 121 ,...,, jvvv es linealmente independiente, se tiene que 1,...,2,1,0)(  jic jii  Como los valores propios son diferentes entre sí. 0 jI  . Así 1,...,2,1,0  jici . Luego: 00...00 121  jj vvvv . Pero esto es imposible, pues ningún vector propio es cero. Esta contradicción afirma que el conjunto formado por los vectores es linealmente independiente. Nota. Si nn nn aaap     1 1 1 ...)( es el polinomio característico de una matriz A , se tiene que 37  )()1( AMa i i i donde )(AM i representa a los menores principales de orden 1 de la matriz A . En particular se verifica que: El producto de los valores propios es igual al determinante de la matriz: )( 1 ADet n i i    Ejemplo 14. Para la matriz            021 312 201 A , su polinomio característico es de la forma 32 2 1 3)( aaap   donde:   0)011()()1( 1 1 1 AMa .             9621 02 31 01 21 12 01 )()1( 2 2 2 AMa              4)106( 021 312 201 )()1( 3 3 3 AMa Luego: el polinomio característico de A es 49)( 3  p . Ejemplo15. Para la matriz             322 121 101 A su polinomio característico es de la forma 32 2 1 3)( aaap   donde:   6)321()()1( 1 1 1 AMa           11542 32 11 32 12 21 01 )()1( 2 2 2 AMa 38               6)204( 322 121 101 )()1( 3 3 3 AMa Luego: el polinomio característico de A es 6116)( 23  p . Teorema 10. Toda matriz cuadrada A satisface su ecuación característica, es decir: Si ( )p  es su polinomio característico, entonces 0)( Ap (matriz cero) Este teorema es conocido como Teorema de Hamilton-Cayley. Demostración: Para la matriz cuadrada A , consideramos la matriz característica C A I  de orden n, entonces 1 1 0( ) ( ) ...n n n nDet C p k k k         es el polinomio característico de la matriz A . También ( )Adj C contendrá polinomios en  de grado no mayor que ( 1)n  . Por tanto ( )Adj C se puede desarrollar en un polinomio con coeficientes matriciales de grado cuando más ( 1)n  , es decir 1 2 1 2 1 0( ) ...n n n nAdj C C C C C          Donde cada iC es una matriz con elementos escalares. Usando la propiedad ( ) ( ) ( )C Adj C Adj C C Det C I     Tenemos ( ) ( )Adj C C p I   ( ) ( ) ( )Adj C A I p I      ( ) ( ) ( )p I Adj C A Adj C     1 1 2 1 0 1 2 1 0( ... ) ...n n n n n n n nk k k I C C C C A                     1 2 1 2 1 0...n n n nC C C C             39    IkIkIkIk n n n n 01 1 1 ...         ACACACAC n n n n 01 2 2 1 1 ...    0 2 1 1 21 ... CCCC n n n n    1 1 1 0...n n n nk I k I k I k I        1 1 2 0...n n n nC C C        + 1 1 1 0...n nC A C A C A      Las expresiones en los dos miembros de esta igualdad son matrices polinomiales de orden n. Puesto que las matrices polinomiales son iguales si y solo si los coeficientes correspondientes son iguales. Luego 1n nk I C   1 2 1n n nk I C C A     - - - 1 0 1k I C C A   0 0k I C A Multiplicando cada una de estas ecuaciones por 1, ,..., ,n nA A A I , tenemos 1 n n n nk A C A  1 1 2 1 n n n n nk I C A C A      - - - 2 1 0 1k A C A C A   0 0k I C A Sumando miembro a miembro, se tiene: 1 1 0... ( ) 0n n n nk A k A k I p A      (matriz nula) 40 Teorema 11. Si 1 2, ,..., n   son todos los valores característicos (con su multiplicidad) de una matriz A y si ( )g u es un polinomio escalar, entonces 1 2( ), ( ),..., ( )ng g g   son los valores característicos de ( )g A . Demostración: Si i es un valor propio de A , entonces, existe un vector 0x  tal que iAx x Multiplicando esta igualdad por la matriz A , se tiene ( ) ( )iA Ax A x 2 2( ) ( )i i i iA x Ax x x      Es decir: 2 i , es valor propio de 2A . Por inducción se tiene: 𝐴𝑘 = 𝜆1 𝑘, 𝑘 ∈ ℤ+ Es decir: k i , es valor propio de kA . Luego para cualquier polinomio ( )g u se cumple: ( ) ( )ig A x g x Lo cual demuestra la afirmación del teorema. 3.1.5. SEMEJANZA DE MATRICES Definición 19. Se dice que dos matrices cuadradas A y B son semejante, si existe ¨ una matriz invertible P tal que 1B P AP [11]. Ejemplo 16. Las matrices        23 21 A y         712 24 B son semejantes, pues existe la matriz invertible        11 12 P tal que 1B P AP . Se tiene:          21 111P 41 En efecto: APPB 1 11 12 23 21 21 11 712 24                             Ejemplo 17. Las matrices            011 110 101 A y            100 110 0102 B son semejantes, pues existe la matriz invertible            341 431 331 P y               011 101 337 1P tal que APPB 1 341 431 331 011 110 101 011 101 337 100 110 0102                                               Teorema 12. Matrices semejantes tiene el mismo polinomio característico. Demostración: Sean A y B dos matrices semejantes, entonces, existe una matriz invertible P tal que 1B P AP Luego: 1( ) ( )Det B I Det P AP I    1 1( ) ( )Det B I Det P AP P P     1( ) ( )Det B I Det P A I P      1( ) ( ) ( ) ( )Det B I Det P Det A I Det P    ( ) ( )Det B I Det A I    Por tanto los polinomios característicos de A y B son iguales. Definición 20. Una matriz cuadrada A de orden “ n ” se dice diagonalizable si es semejante a una matriz diagonal D , es decir, si existe una matriz P de orden “n” no singular tal que [11]. 42              nd d d DAPP     00 00 00 2 1 1 En este caso se dice que D es una forma diagonal de A y que P es la matriz de paso. PDAPDAPP 1 y si iP representa la columna i-esima de P tenemos niPdAP iii ,...,2,1,  . Por lo que los elementos nidi ,...,2,1,  de la igualdad de D son los auto valores de la matriz A . Por tanto, salvo reordenación de los elementos diagonales, la matriz D está determinada. Definición 21. (Potencia de matrices) Si A es una matriz diagonalizable, existe una matriz no singular P tal que 11   PDPADAPP . Entonces 1111 ))...()((   PPDAPDPPDPPDPA mmm . Ejemplo 18. Si          53 64 A , )1)(2(2)( 2  p Vector Propio: Para 2 : 21 21 21 2 1 033 066 0 0 33 66 xx xx xx x x                           Luego:                         1 1 1 1 11 1 1 2 1 vx x x x x es el vector propio asociado a 2 . Para 1 : 21 21 21 2 1 2 033 063 0 0 63 63 xx xx xx x x                           Luego:                         1 2 1 22 22 2 2 2 1 vx x x x x es el vector propio asociado a 1 . 43 Se forma la matriz                   11 21 11 21 1 21 PyvvP Luego:                       11 21 10 02 11 211 n nn PPDA                                      nn nn n n nA )1()1( 22 11 21 11 21 )1(0 02 11 21 1            nnnn nnnn nA )1(2)1(2 )1(22)1(22 1 1 Ejemplo 19. Si        13 31 A , )4)(2(82)( 2  p Vector Propio: Para 21  : 21 21 21 2 1 033 033 0 0 33 33 xx xx xx x x                         Luego:                         1 1 1 1 12 2 2 2 1 vx x x x x es el vector propio asociado a 21  . Para 42  : 21 21 21 2 1 033 033 0 0 33 33 xx xx xx x x                           Luego:                         1 1 1 1 22 2 2 2 1 vx x x x x es el vector propio asociado a 42  . Se forma la matriz                 11 11 2 1 11 11 1 21 PyvvP Luego: 1 1 1 2 0 1 11 1 1 0 4 1 12 n n nA PD P                       1 2 1 1 1 1( 2) 0 1 1 1 1 120 2 n n n n A PD P                   44                        nnnn nnnn nn nn nA 22 22 2 2 2)2(2)2( 2)2(2)2( 2 1 11 11 2 1 2)2( 2)2(          nnnn nnnn nA 22 22 2)2(2)2( 2)2(2)2( 2 1 Ejemplo 20. Si              544 101 121 A , )3)(2)(1(6116)( 23  p Vector Propio: Para 1 :                                             0444 0 020 0 0 0 444 111 120 0)( 321 321 321 3 2 1 xxx xxx xxx x x x xIA                                                     2 1 1 2 1 1 2 2 12 2 2 2 3 2 1 21 23 vx x x x x x x xx xx Para 2 :                                             0344 02 02 0 0 0 344 121 121 0)2( 321 321 321 3 2 1 xxx xxx xxx x x x xIA 1 2 1 2 3 3 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 2 2 2 2 0 4 1 4 4 3 0 2 4 4 x x x x x x x x x x x x x x x x x                                              2 2 1 4 v            Para 3 : 45                                             0244 03 022 0 0 0 244 131 122 0)3( 321 321 321 3 2 1 xxx xxx xxx x x x xIA 1 2 1 2 3 1 2 2 2 2 1 2 3 3 2 3 2 1 2 2 0 1 3 0 4 4 4 x x x x x x x x x x x x x x x x x                                              3 1 1 4 v            Se forma la matriz:               442 111 121 321 vvvP y              102 022 140 2 11P Luego:                                     102 022 140 2 1 300 020 001 442 111 121 1 n n n nn PPDA                             102 022 140 2 1 3422 321 321 2 1 nn nn nn nA                   nnnn nnnn nnnn nn PPDA 34228382 3124322 3124322 2 1 33 11 22 1 3.2. METODOS ITERATIVOS PARA EL CÁLCULO DEL POLINOMIO CARACTERISTICO DE UNA MATRIZ. En diversos campos de la ingeniería y las matemáticas surge el problema de calcular los valores escalares  y los vectores x no nulos tales que para la matriz cuadrada A se cumple Ax x . Algunos de estos campos de aplicación son: 46 Ecuaciones diferenciales Estabilidad de sistemas lineales Sistemas eléctricos (componentes simétricas) Polos y ceros de funciones transferencia Diagonalización de matrices. Desarrollamos los siguientes métodos de cálculo para este polinomio. 3.2.1. EL MÉTODO DE DANILEVSKY Consideremos una matriz nnijaA  ][ . El método consiste en transformar la matriz: [12].              nnnn n n aaa aaa aaa A     21 22221 11211 a la matriz semejante                  0100 00 0010 0001 121      nn pppp llamada la matriz de FROBENIUS y donde nn pppp ,,...,, 121  , son los coeficientes de nn nnn ppppp     1 2 2 1 1 ...)( La mencionada transformación se realiza del modo siguiente: La penúltima columna se divide por 1, nna , supuesto que es diferente de cero, luego mediante operaciones elementales columnas (matrices elementales) se transforma la última fila a una fila de la forma  1000  , El producto de todas las matrices elementales (operaciones elementales columnas) dan como resultado la matriz 47                    1000 0010 0001 ,11,12,11,1 1      nnnnnn n bbbb M donde: 1; 1, ,1    ni a a b nn ni in 1, 1,1 1    nn nn a b Puesto que 1nM es el producto de matrices elementales entonces es no singular (regular) y                     0100 0010 0001 )1(21 1 1      nnnnnn n aaaa M Luego                        0100 )1()1)(1(2)1(1)1( 2)1(22221 1)1(11211 1 1 1      nnnnnn nn nn nn cccc cccc cccc AMMC es semejante a la matriz A y por lo tanto tiene el mismo polinomio característico. Si 0)2)(1(  nnc , entonces aplicamos el proceso anterior a la matriz C y obtenemos 2 1 2    nn AMMD la cual es semejante a la matriz A. Por consiguiente, de esta manera obtenemos P, 48 1221 1 1 1 2 1 2 1 1 ...... MMMAMMMMMP nnnn       Ejemplo de aplicación 1. Sea              1234 2123 3212 4321 A Aquí 02,4 43  an Entonces              1000 0010 0001 34333231 31 bbbb MM n Donde 2 2 4 43 41 31  a a b 2 3 43 42 32  a a b 2 11 43 33  a b 2 1 43 44 34  a a b Entonces:               1000 2/12/12/32 0010 0001 31 MM n                1000 1234 0010 0001 1 3 1 1 MM n Luego: 49 3 1 3 AMMC                                        1000 2/12/12/32 0010 0001 1234 2123 3212 4321 1000 1234 0010 0001 C                              01000100 19111524 2122 2/52/32/55 34333231 24232221 14131211 cccc cccc cccc C Aquí: 01532 c Para la matriz C repetimos el proceso: Dividimos la penúltima columna entre 1532 c .              1000 0100 0001 24232221 2 bbbb M 2; )2)(1( ,1 ,2     ni c c b nn in in )2)(1( )2)(2( 1    nn nn c b Luego: 15 24 15 24 32 31 21     c c b 15 1 15 11 32 22    c b 15 11 15 11 32 33 23    c c b 15 19 15 19 32 34 24    c c b 50 Luego:               1000 0100 15/1915/1115/115/24 0001 2M               1000 0100 19111524 0001 1 2M Tenemos entonces: 2 1 2 AMMD                             1000 0100 1000 0100 243456 3/23/16/11 24232221 14131211 dddd dddd D Finalmente También se calcula:               1000 0100 0010 46/346/6/1 1M              1000 0100 0010 243456 1 1M Finalmente: 1 1 1 DMMP                                         1000 0100 0010 46/346/6/1 1000 0100 243456 3/23/16/11 1000 0100 0010 243456 P 51              0100 0010 0001 2056404 P Por lo tanto: 2056404)( 234  p 3.2.2. MÉTODO DE KRYLOV El método de Krylov requiere resolver un sistema de ecuaciones lineales para encontrar los coeficientes del polinomio característico. Este sistema se conforma a partir de la aplicación del teorema 9 al polinomio característico [12]. 01 3 3 2 2 1 1 ...)( pppppp n n n n n n n n         IpApApApApAAp n n n n n n n n 01 3 3 2 1 1 1 ...)(        Si a la expresión del polinomio característico, evaluado para la matriz A (segunda expresión del párrafo anterior) se le multiplica por la derecha por un vector arbitrario )0(Y se tiene 0... )0( 0 )0( 1 )0(2 2 )0(1 1 )0(      YpAYpYApYApYA n n n n n Donde                )0( )0( 2 )0( 1 )0( ny y y Y  Llamando )1(Y al producto de la matriz A por el vector )0(Y se tiene                )1( )1( 2 )1( 1 )0()1( ny y y AYY  52 )2(Y al producto de la matriz A por el vector )1(Y lo que implica la aplicación 2A sobre )0(Y                )2( )2( 2 )2( 1 )1()0(2)2( ny y y AYYAY  En general                 )( )( 2 )( 1 )1()0()( k n k k kkk y y y AYYAY  , nk ,...,2,1 Con estos vectores se forma el sistema lineal                                                                                   )( )( 2 )( 1 )0( )0( 2 )0( 1 0 )1( )1( 2 )1( 1 1 )2( )2( 2 )2( 1 2 )1( )1( 2 )1( 1 1 ... n n n n nn n n n n n n n n n n y y y y y y p y y y p y y y p y y y p  Expresando en forma matricial se tiene:                                                                      )( )( 1 )( 3 )( 2 )( 1 0 1 3 2 1 )0()1()3()2()1( )0( 3 )1( 3 )3( 3 )2( 3 )1( 3 )0( 2 )1( 2 )3( 2 )2( 2 )1( 2 )0( 1 )1( 1 )3( 1 )2( 1 )1( 1 n n n n n n n n n n nn n n n n n n nnn nnn nnn y y y y y p p p p p yyyyy yyyyy yyyyy yyyyy        Resuelto este sistema por alguno de los métodos conocidos, se tienen los coeficientes del polinomio característico. Cabe señalar que, siendo el vector )0(Y arbitrario se toma como tal el que menos trabajo implica, por ejemplo, se toma el vector 53                      0 0 0 0 1 )0(  y Siendo posible elegir otro si el sistema resulta mal condicionado. Ejemplo de aplicación: Para la siguiente matriz               2210 3102 0120 1101 A Se toma como el vector arbitrario el vector              0 0 0 1 )0(y Se calcula                                         0 2 0 1 0 0 0 1 2210 3102 0120 1101 )0()1( AyY                                             4 4 2 1 0 2 0 1 2210 3102 0120 1101 )1()2( AyY                                                18 14 8 9 4 4 2 1 2210 3102 0120 1101 )2()3( AyY 54                                                72 50 30 41 18 14 8 9 2210 3102 0120 1101 )3()4( AyY El sistema lineal a resolver, es:                                              72 50 30 41 00418 02414 0028 1119 0 1 2 3 p p p p En forma equivalente: 419 0123  pppp (1) 3028 23  pp (2) 502414 123  ppp (3) 72418 23  pp (4) Podemos resolver las ecuaciones (2) y (4)                  3629 3028 3629 154 72418 3028 23 23 23 23 23 23 pp pp pp pp pp pp       9 6 2 3 p p Luego: 3,1 01  pp con lo cual el polinomio característico, es: 396)( 234  p 3.2.3. MÉTODO DE LE VERRIER Consideramos el polinomio característico en su forma mónica (coeficiente de n igual a la unidad) [12], [13]. 55 1 2 1 2 1 0( ) ...n n n n np p p p p             Si las raíces de este polinomio son |21 ,...,, n , valores propios de la matriz A , se tiene 1 2 3 1( ) ( )( )( )...( )( )n np                 Se calcula la derivada 1 2 3 1 2 1'( ) ( 1) ( 2) ...n n n n np n n p n p p              Se considera ahora 1 2 3 1 2 1 1 2 1 2 1 0 '( ) ( 1) ( 2) ... ( ) ... n n n n n n n n n n p n n p n p p p p p p p                               2 3 1 3 1 2 3 1 ( )( )...( ) ( )( )...( ) ...'( ) ( ) ( )( )( )...( )( ) n n n n p p                                       1 2 1 1 2 3 1 ( )( )...( ) ( )( )( )...( )( ) n n n                            11 2 3 '( ) 1 1 1 1 1 ... ( ) n kn k p p                         Tomando k nk  ,1 max   , la sumatoria se puede escribir 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 n n n k k k k kk k kk                                                 2 3 4 2 3 4 5 1 1 1 1 ... n n k k k k k kk                          Por tratarse de una serie geométrica de razón 1k   . Llamando: 1 1 n k k s    y por propiedad, 1 ( ) n k k Tr A   56 2 2 2 1 ( ) n k k s Tr A    , 3 3 3 1 ( ) n k k s Tr A    ………………….. 1 ( ) n n n n k k s Tr A    Resulta: 1 2 3 4 2 3 4 5 1 1 ... n k k n s s s s                } Entonces 1 2 3 1 2 1( 1) ( 2) ...n n n n nn n p n p p                       ...)...( 4 3 3 2 2 1 0 21 1 2   sssn ppp n p n n n n Desarrollando el producto del segundo miembro e igualando los coeficientes de las distintas potencias de  resulta que, siendo el polinomio mónico característico 1 2 1 2 1 0( ) ...n n n n np p p p p             Sus coeficientes vienen dados por 1 1np s   2 1 1 2 2 n n s s p p      3 2 1 1 2 3 3 n n n s s p s p p        ………………………….. 1 1 2 2 1 1...r r n r n n r n r s s p s p s p p r              Ejemplo de aplicación: Para la matriz 1 0 1 1 0 2 1 0 2 0 1 3 0 1 2 2 A             57 Como primer paso se calculan las potencias segunda, tercera y cuarta de la matriz dada. Se obtiene las matrices 2 1 1 4 6 2 4 3 3 4 3 5 7 4 4 7 10 A              3 9 8 16 23 8 11 11 13 14 13 18 25 18 18 27 17 A              4 41 39 61 85 30 35 40 51 50 51 67 90 72 73 101 137 A              A continuación se calculan las trazas de estas matrices que con la notación adoptada se corresponden a los valores 2 3 4, , ,s s s s 1 1 0 1 1 0 2 1 0 ( ) 6 2 0 1 3 0 1 2 2 s Tr A Tr               2 2 1 1 4 6 2 4 3 3 ( ) 18 4 3 5 7 4 4 7 10 s Tr A Tr                3 3 9 8 16 23 8 11 11 13 ( ) 57 14 13 18 25 18 18 27 17 s Tr A Tr                4 4 41 39 61 85 30 35 40 51 ( ) 198 50 51 67 90 72 73 101 137 s Tr A Tr                58 Con estos valores se tiene: 3 1 6p s    2 1 3 2 9 2 s s p p     3 2 3 1 2 1 1 3 s s p s p p       4 3 3 2 2 1 1 0 3 4 s s p s p s p p        El polinomio característico es: 4 3 2( ) 6 9 3p          59 IV. DISCUSION Los resultados son de gran importancia en el cálculo de los coeficientes del polinomio característico de una matriz. Sin embargo, en el estudio que se hace en este trabajo, existen matrices que no se adecuan al empleo del método de Danilevsky, por ejemplo matrices que tiene el término 1, nna de la matriz igual a cero. Estas matrices se dejan al estudio posterior de otros trabajos de investigación. En realidad, estas matrices al inicio no se adecuan al método de Danilevsky, pero si se puede aplicar una operación elemental y se convierten una matriz que se adecua al método de Danilevsky. Cabe decir que estos métodos solo dan el polinomio característico de la matriz, mas no los vectores propios (estos valores propios son las raíces del polinomio característico), este problema del cálculo de los valores propios también es motivo de otro trabajo de investigación. Obviamente, estos tres métodos estudiados, tampoco dan los vectores propios de la matriz. Claramente si se conoce un valor propio, se podría calcular uno o más vectores propios. 60 V. CONCLUSIONES Se tienen las siguientes conclusiones 1. El método de Danilevsky consiste en efectuar (n-1) transformaciones de semejanza de matrices (Operaciones elementales fila), a partir de la matriz A, encontrando matrices no singulares 𝑀𝑖; 1,2, … , 𝑛 − 1 tales que el producto 𝑀1 −1, … , 𝑀𝑛−1 −1 𝑀𝑛−1 = 𝐶𝜆, es decir, la matriz A va siendo sustituida sucesivamente por matrices cuyas filas van siendo reducidas a partir de la fila n hasta la fila 2, esta última matriz es la matriz compañera, y es la que da los coeficientes del polinomio característico. 2. En el método de Krylov se requiere resolver un sistema de ecuaciones lineales para encontrar los coeficientes del polinomio característico. Este sistema se conforma a partir de la aplicación del teorema 9 al polinomio característico 01 3 3 2 1 1 1 ...)( pppppp n n n n n n n n         3. En el método de Le Verrier, es de gran importancia las trazas de las matrices 2 3, , ,..., nA A A A con los cuales se pueden calcular los coeficientes del polinomio característico de la matriz considerada. 61 VI. RECOMENDACIONES Se tiene las siguientes recomendaciones. 1. En el método de Danilevsky se recomienda tener conocimiento de las operaciones elementales filas y columnas en una matriz (estas operaciones elementales son equivalentes a multiplicar la matriz A por matrices elementales). 2. En el método de Krylov se recomienda leer un poco de la teoría de sistemas de ecuaciones lineales, así como algunos métodos de solución. 3. Para el cálculo de las matrices 2 3, , ,..., nA A A A en el método de Le Verrier se recomienda utilizar el programa de Matlab, derive, ya que estos cálculos son tediosos. 62 VII. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS Trabajos citados [1] W. Castillo E, Algebra Lineal, Costa Rica, 2013. [2] L. M. Merino Gonzalez y E. Santos Alaez, Álgebra lineal con métodos elementales, 3 ed., Paraninfo, 2021. [3] R. E. Larson, Introducción al Algebra Lineal, Limusa , 2016. [4] R. Larson, Fundamentos de álgebra lineal, 7 ed., Cengage, 2015. [5] E. Mendoza Sandoval, Análisis teórico de los operadores lineales diagonizables con base en la teoría de APOE, Guerrero, México, 2019. [6] R. Larson, Matemática IV álgebra lineal, 2 ed., cengage, 2019. [7] . M. N. Sandoval Rodríguez, Localización de regiones que incluyen valores propios de matrices cuadradas, Trujillo, Perú, 2022. [8] E. Aranda Ortega, Algebra lineal con aplicaciones, Lulu.com, 2013. [9] E. Espinoza Ramos, «Álgebra Lineal para estudiantes de ciencias e ingeneria,» Lima, cuzcano, 2006. [10] N. Ferre, A. C. Galli y E. B. Guzmán Mattje, Álgebra y geometría una manera de pensar, Universidad nacional de la plata, 2018. [11] D. Poole, Álgebra lineal una introducción moderna, 4 ed., cengage, 2017. [12] L. Huamán Rmirez, «III Coloquio de matemática,» de III Coloquio de matemática, Lima, 1985. [13] J. A. Palomino Hernández , Transformaciones lineales con Geogebra, una propuesta para profesores en formación continua, Lima, Perú, 2017. 63 VIII. ANEXOS MÉTODO PARA EL CÁLCULO SIMULTÁNEO DE LOS COEFICIENTES DEL POLINOMIO CARACTERISTICO Y DE LA MATRIZ ADJUNTA Este método conocido como el método de Faddeev, considera una matriz ij m n A a      . La matriz característica de A es ( )I A  . El determinante de la matriz característica ( ) ( ) ( )ik ikp Det I A Det a      Es un polinomio escalar en  y se llama polinomio característico de A . La matriz  ( ) ( )ikB b  , donde ( )ikb  es el complemento algebraico (cofactor) del elemento ( )ik ika  en el determinante ( ) se llama matriz adjunta de ( )I A  . Es decir:  ( ) ( ) ( )ikB b Adj I A     Ejemplo 1. Para la matriz 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a A a a a a a a           11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a I A a a a a a a                       )()( AIDetp     )()()( 311321123223332233112111 2 332211 3 aaaaaaaaaaaaaaap 233211332211312213322113312321332112 aaaaaaaaaaaaaaaaaa  2 22 23 22 33 23 32 21 22 31 21 33 31 21 32 22 31 ( ) ( ) a a a a a a B a a a a a a a a a a                           Estas definiciones implican las siguientes identidades en  : 64 IpBAI )()()(   IpAIB )())((   Formula efectiva para expresar la matriz adjunta ( )B  Consideremos el polinomio característico de la matriz ( , )A M n n . n nnn pppp   ...)( 1 2 1 1  La matriz adjunta se puede expresar de la siguiente manera: 1 2 1 2 1( ) ...n n nB I B B B          donde 1 1B A p I  2 2 1 2B A p A p I   y en general 1 2 1 2 . . .k k k k kB A p A p A p I      ( 1,2,..., 1k n  ) Las matrices 1 2 1, ,..., nB B B  se pueden calcular en sucesión partiendo de la relación de recurrencia 1 0( 1,2,..., 1; )k k kB AB p I k n B I     Además 0)( 1   IpABApB nnn (matriz cero) );1,...,2,1( 01 IBnkIpABB kkk   Si A es no singular, entonces npADetp  )()0( ( 1) det( )n nA p   1( 1) det( ) 0n np A   Y se sigue que: 65 1 1 1 n n A B p   Ejemplo 2. Para              111 110 112 A , tenemos               111 110 112 )()(     DetAIDetp 254)( 23  p 2)1)(2()(  p y 1,2 21   (raíz doble)               311 130 112 411 IApAB               211 231 220 512 IABB y               2311 2331 222 )( 2 2 2    B 2)( ADet .               12/12/1 12/32/1 110 2 1 2 1 BA