Reconocimiento-NoComercial-CompartirIgual 4.0 Internacional Esta licencia permite a otras combinar, retocar, y crear a partir de su obra de forma no comercial, siempre y cuando den crédito y licencia a nuevas creaciones bajo los mismos términos. http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0 http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN LUIS GONZAGA” VICERRECTORADO DE INVESTIGACIÓN Facultad de Ciencias “TOPOLOGÍA Y TEORÍA DE GRAFOS EN LA VIDA COTIDIANA” Línea de Investigación Ciencias Naturales, Ingeniería y Tecnologías Sostenibles INFORME FINAL DE INVESTIGACIÓN AUTORES Dr. CARLOS APARCANA AQUIJE (Investigador Principal) Código ORCID: 0000−0003−4531−2510 Dra. MERLY LILIANA YATACO BERNAOLA (Investigador Asociado) Código ORCID: 0000–0002–9874–4758 Mag. HANS CIOVANNI QUISPE ARCOS (Investigador Asociado) Código ORCID: 0000-0002-7002-5479 Dra. DIANA MERCEDES CASTRO CÁRDENAS (Investigadora Colaboradora) Código ORCID: 0000-0001-8489-9671 Ica - Perú 2023 ii ÍNDICE Pág. Portada i Índice ii Resumen iii Abstract iv I. INTRODUCCIÓN 5 II. ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS 7 III. RESULTADOS 9 IV. DISCUSIÓN 83 V. CONCLUSIONES 84 VI. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 86 iii RESUMEN Es necesario la matemática para entender lo que ocurre en el comportamiento de un determinado objeto matemático, destacando los conjuntos abiertos, las funciones continuas, espacios topológicos, homeomorfismos estudiados en cálculo, análisis matemático, y muy especial en la teoría de grafos la que, apoyándose en la topología nos sirve para generan ciertos modelos matemáticos y dan origen a múltiples y nuevas aplicaciones en el mundo de las matemáticas, así como de la vida cotidiana, pues sus variadas aplicaciones a problemas de la vida real, constituyen la base de la matemática moderna, con múltiples aplicaciones en las Ciencias e Ingeniería y áreas afines. La información obtenida es muy útil e importante, pues a partir de ella se tiene presente, cuáles, en donde y como se dan los contextos, significados, representaciones y repercusiones al planificar y presentar el desarrollo del tema “Topología y Teoría de grafos en la vida cotidiana”, dado que todo este contexto se da en la modelación de la matemática que nos brindan la Topología y la Teoría de grafos. El objetivo del trabajo ha sido desarrollar topología y teoría de grafos en la vida cotidiana temas que, en la actualidad contituyen una temática, interesante, importante y útil aplicación. Palabras claves: Topología, Grafos, Homeomorfismos, Espacios topológicos. iv ABSTRACT Mathematics is necessary to understand what happens in the behavior of a certain mathematical object, highlighting open sets, continuous functions, topological spaces, homeomorphisms studied in calculus, mathematical analysis, and very special in graph theory, which, based on in topology, it helps us generate certain mathematical models and give rise to multiple new applications in the world of mathematics, as well as in everyday life, since its varied applications to real-life, problems constitute the basis of modern mathematics, with multiple applications in Sciences and Engineering and related areas. The information obtained is very useful and important, because from it is kept in mind which, where and how the contexts, meanings, representations and repercussions occur when planning and presenting the development of the topic “Topology and Graph Theory in everyday life”, given that this entire context occurs in the modeling of mathematics that Topology and Graph Theory provide us with. The aim of the work has been to develop topology and graph theory in everyday life topics that, at present contain a thematic, interesting, important and useful application The aim of the work has been to develop topology and graph theory in everyday life topics that, at present contain a thematic, interesting, important and useful application. The aim of the work has been to develop topology and graph theory in everyday life topics that, at present contain a thematic, interesting, important and useful application. Keywords: Topology, Graphs, Homeomorphisms, Topological spaces. 5 I. INTRODUCCIÓN Se inicia el trabajo seleccionando los medios de evidencias que nos proporciona la topología, disciplina considerada como la más joven de las ramas clásicas, de las matemáticas, cuya aparición fue en el siglo XVII, con el nombre de análisis de la posición o analysis situs, bajo este concepto podemos definir a la topología como una rama de la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades intrínsecas de los objetos matemáticos o de aquellas propiedades de las figuras que permanecen invariantes, cuando son plegadas, dilatadas, contraídas o deformadas, de modo que no aparezcan nuevos puntos, o se hagan coincidir puntos diferentes. [2] En topología se trabajó con los mismos objetos que en geometría y en la teoría de grafos, pero de modo distinto, en teoría de grafos, las distancias o los ángulos no son importantes, ni siquiera la alineación de los puntos. En topología, un círculo es equivalente a una elipse; una bola no se distingue de un cubo; y se dice que la bola y el cubo son objetos topológicamente equivalentes, porque se pasa de uno al otro mediante una transformación continua y reversible. Así mismo se ha hecho el estudio de los conjuntos abiertos, cerrados, aplicaciones continuas, espacios topológicos, homeomorfismos, que sirvieron para dar los conceptos básicos de la Teoría de Grafos e incursionar en la modelación matemática de la Teoría de Grafos aplicados a la vida cotidiana, lo que fue muy útil para la preparación del trabajo de investigación que hemos realizando, el cual describe , identificar y analizar algunas aplicaciones de la Teoría de grafos aplicados a la vida cotidiana extrapolando estos conceptos al caso de una función 𝑓 ⃗⃗⃗ ∶ Ω ⊂ ℝ𝑛 → ℝ𝑚/𝑓 ⃗⃗⃗ (𝑋 ) = (𝑓𝑖⃗⃗ (𝑋)) , ∀ 𝑖 = 1,2,… ,𝑚 tal que 𝑛,𝑚 𝜀 ℕ, 𝑋 = 𝑋 = (𝑥1, 𝑥2, , … , 𝑥𝑛) , 𝑓 ⃗⃗⃗ (𝑥1, 𝑥2, , … , 𝑥𝑛, ) = (𝑓1⃗⃗ ⃗(𝑋), 𝑓2⃗⃗ ⃗(𝑋), … , 𝑓𝑚⃗⃗⃗⃗ (𝑋)) Los resultados que se desprenden del presente trabajo los vemos reflejados en las aplicaciones de otras ramas de las matemáticas que sin duda son esenciales y están ligados habitualmente en muchos razonamientos de los cursos como el de geometría diferencial, análisis, álgebra, análisis matemático e investigación operativa, además constituye una herramienta indispensable en física, física química, medicina, biología, la genética, informática, teoría de redes, teoría de juego, teoría de grafos, etc. Un grafo es un conjunto de puntos, llamados vértices, algunos de los cuales estan ligados entre sí por medio de líneas, denominadas las aristas. La naturaleza geométrica de estos arcos no tiene importancia, sólo cuenta la manera en la que los vértices están conectados. 6 [2] Los grafos no solo interesan a los matemáticos puros, se usan también para representar circuitos eléctricos, para realizar cálculos teóricos relativos a partículas elementales, etc. La teoría de grafos tiene igualmente una importancia económica directa por sus numerosas aplicaciones en investigación operativa. Por ejemplo, para determinar el trayecto optimo, es decir obtener el trayecto menos costoso y el más rápido, para una empresa de camiones que deben repartir y recoger productos a números clientes esparcidos por un país determinado, la red de carreteras puede modelizarse por un grafo, cuyas aristas son las carreteras de una ciudad a otra, a cada arista se le asocian varios números longitud del camino correspondiente, tiempo de recorrido, coste del peaje, etc. Usando cálculos y algoritmos a veces complejos, se determinan una o varias soluciones y se trata entonces de encontrar la mejor de ellas, se está estudiando la llamada topología de la red. Es muy importante tener presente, cuáles, en donde y como se dan los contextos, significados, representaciones y repercusiones al planificar, investigar y presentar el desarrollo del tema “Topología y Teoría de grafos en la vida cotidiana”, por lo que debemos decir que todo este contexto se da en la modelación matemática que nos brindan la Topología y la Teoría de grafos, es muy importante también preguntarnos como se deducen, como se desarrollan y se aplican matemáticamente estos modelos una vez que los hallamos obtenido. 7 II. ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS Las estrategias del presente trabajo de investigación que se llevaron a cabo fueron presentando al espacio vectorial ℝ𝒏, el cual se considera como el conjunto de las n-úplas de números reales, donde 𝑛 es un número natural arbitrario fijo. Los elementos de ℝ𝒏, llamados indistintamente puntos o vectores son los conjuntos ordenados que se denotan por 𝑋 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛), donde 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛, son números reales arbitrarios. Mostrando que la cuaterna (ℝ𝒏, ℝ, +, ×), con ℝ𝒏 el conjunto de los vectores, ℝ el de los números reales, y +, × la suma de vectores y el producto de un escalar por un vector, definidos en los primeros cursos de análisis, conforman un espacio vectorial. En el presente trabajo generalizaremos el espacio ℝ𝑛 a los conceptos topológicos de valor absoluto, intervalo, conjunto abierto, cerrado, punto interior, punto de adherencia, etcétera La inserción de una topología en un espacio ℝ𝑛 es de mucha utilidad a la hora de definir las nociones de límite y continuidad de funciones dependientes de varias variables reales. El concepto de norma es la generalización del concepto de valor absoluto. Así, sabemos que la distancia entre dos números reales 𝑥, 𝑦 𝜀 ℝ viene dado por 𝑑(𝑥, 𝑦) = |𝑦 − 𝑥| y definiendo en general que es el Producto escalar o Producto interno en un espacio vectorial real, ℝ𝒏. Existen muchas aplicaciones que cumplen con la definición de producto escalar, pero el producto escalar con el que se trabajó es el siguiente: 𝑋 . �⃗� = ⟨𝑋 , �⃗� ⟩ = [ 𝑥1 𝑥2 ⋮ 𝑥𝑛 ] [ 𝑦1 𝑦2 ⋮ 𝑦𝑛 ] =∑𝑥𝑖 . 𝑦𝑖 𝑣 𝑖=1 = 𝑥1𝑦1 + 𝑥2𝑦2 +⋯+ 𝑥𝑛𝑦𝑛 Al espacio vectorial real de dimensión finita, 𝑛, en el que esté definido un producto escalar, ⟨𝑋 , �⃗� ⟩, se le denomina espacio vectorial euclídeo 𝑛 dimensional El producto interno que acabamos de definir nos permite considerar la norma euclidiana de un vector 𝑋 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) en ℝ𝒏 que es una aplicación de ℝ𝒏 sobre ℝ, es decir ‖𝑋 ‖: ℝ𝒏 → ℝ+ 𝑋 ⟼ ‖𝑋 ‖ de forma que a 𝑋 se le hace corresponder un escalar que se representa por ‖𝑋 ‖ norma de 𝑋 , la definimos mediante ‖𝑋 ‖ = √⟨𝑋 , 𝑋 ⟩ = √𝑥1 2+ 𝑥2 2 +⋯+ 𝑥𝑛2 8 debiendo cumplir dicha aplicación las siguientes propiedades de positividad, homogeneidad y la desigualdad triangular, continuando con el desarrollo de la existencia de distintas normas en ℝ𝑛 (con 𝑛 ≥ 2) ‖𝑋 ‖ 2 , ‖𝑋 ‖ 1 y ‖𝑋 ‖ ∞ , que son muy importantes en el trabajo realizado, motivando la introducción de normas equivalentes. El concepto análogo al de intervalo en el caso multidimensional es el de bola, este permitirá desarrollar la topología de ℝ𝑛. La bola abierta o disco abierto, bola cerrada, bola reducida o bola abierta perforada, con cuyos conceptos podemos construir los conceptos fundamentales que conforman la topología de espacios métricos. El primero de estos conceptos es el de conjunto abierto que básicamente son los bloques de construcción de un espacio topológico. Así mismo se han recolectado suficientes textos, y materiales de enseñanza, tales como apuntes de clases elaborados por especialistas en Topología y Teoría de Grafos, este material bibliográfico con el que se ha trabajado y desarrollado el presente trabajo de investigación, “Topología y Teoría de Grafos en la vida Cotidiana” ha sido estrictamente seleccionado, [3] especialmente en los temas o puntos o secciones donde se tratan los conjuntos abiertos, conjuntos cerrados, aplicaciones continuas, espacios topológicos, homeomorfismos, que nos sirvan para poder dar los conceptos básicos de la Teoría de Grafos y poder incursionar en la modelación matemática de la Teoría de Grafos en la vida cotidiana que constituye un tópico de actualidad muy interesante y útil en la preparación del trabajo de investigación que hemos realizado, el cual busca describir, identificar y analizar algunas aplicaciones de la Teoría de grafos a la vida cotidiana. 9 III. RESULTADOS CONCEPTOS BÁSICOS Y RESULTADOS PREVIOS Antes de entrar a la parte central del trabajo de investigación se seleccionaron algunas definiciones previas, así como conceptos básicos con los que mes a mes se trabajó y desarrolló el presente trabajo, de esta manera incursionamos en el tema “Topología y Teoría de Grafos en la Vida Cotidiana”, [4] la cual constituye un trabajo muy interesante, importante y útil en el la vida cotidiana de los seres humanos y demás seres vivientes, donde es necesario la ayuda matemática para entender los sucesos que ocurren en el comportamiento de un determinado objeto matemático destacando los conjuntos abiertos, [5] las funciones continuas los espacios topológicos los homeomorfismos el cálculo diferencial, cálculo integral, el análisis matemático, pero especialmente de la teoría de grafos que, apoyándose en la topología nos generan modelos matemáticos y dan origen a múltiples y nuevas aplicaciones en el mundo de las matemáticas, así como de la vida cotidiana, dado que sus variadas aplicaciones a problemas de la vida real, constituyen la base de la matemática moderna, con múltiples aplicaciones en las Ciencias e Ingeniería y áreas afines. Por lo que se utilizó como medios de evidencias las referencias matemáticas, como libros y textos de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales y no lineales en las que se realizó algunas consultas sobre el tema investigado. Así mismo debemos de indicar que todo este contexto se da en la modelación matemática que nos brindan la topología y la teoría de grafos en la vida cotidiana. Por lo que utilizamos como medios de evidencias las referencias matemáticas, como libros, textos de topología y teoría de grafos en las que se realizaron algunas consultas sobre el tema a investigar, tales como: Conjuntos de Índices Un conjunto de índices 𝛬, es un conjunto a cuyos puntos o elementos los consideraremos como “nombres”, es decir: 𝛬 = {𝛼, 𝛽, 𝛾, 𝛿, …} Nota. 1. Dada una colección de subconjuntos de un conjunto 𝑋 asociamos a cada sub conjunto un nombre tomado del conjunto 𝛬. 2. La forma de adjudicar estos nombres debe ser tal que cada sub conjunto tanga por lo menos un nombre a un solo subconjunto 10 3. Si los nombres de 𝛬 son 𝛼, 𝛽, 𝛾, 𝛿, … entonces el sub conjunto de 𝑋 que lleve el nombre 𝛼 se representara por 𝐴𝛼 al subconjunto que lleve el nombre de 𝛽 se representara por 𝐴𝛽 y así sucesivamente. Ejemplo 1. En Álgebra. En un problema que intervienen 3 incógnitas. Sea el conjunto de índices 𝛬 = {1,2,3} entonces las incógnitas serán 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 En Cálculo. Si se trabaja con una sucesión infinita de números Sea el conjunto de índices 𝛬 = ℤ+ = {1,2,3,…} entonces los elementos de la sucesión serán: 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3,…, 𝑎𝑛, 𝑎𝑛+1, … Familia de Conjuntos Una familia o colección de conjuntos, es un conjunto cuyos elementos son conjuntos, los que se denotan como (𝐴𝑖) 𝑖𝜀𝐼 Familia indexada de conjuntos Una familia indexada (o indizada) de conjuntos es aquella que dado un conjunto discreto de índices 𝛬 = I ≠ 𝜙, tal que 𝑖 𝜀 𝐼 se define el conjunto 𝐴𝑖, que es la imagen de 𝑖 por 𝐴, entonces decimos que F = {𝐴𝑖 / 𝑖 𝜀 𝐼} es una familia indexada de conjuntos, donde 𝐼 = 𝛬 es el conjunto de índices de la familia y que 𝐴𝑖 es el 𝑖 − é𝑠𝑖𝑚𝑖𝑜 elemento (o miembro o nombre) de la familia y cada elemento en el conjunto de índices se le llama un índice Cuando 𝐼 es el conjunto de los números naturales sustituimos la palabra familia por una sucesión o secuencia. Notar que utilizamos el sufijo “ésimo" en 𝑖-ésimo incluso cuando 𝑖 no es un número cardinal, se denota también como: {𝐴𝛼: 𝛼 𝜀 𝛬 = 𝐼} o {𝐴𝛼}𝛼𝜀𝛬=𝐼 o (𝐴𝑖) 𝑖𝜀𝐼 o {𝐴𝛼} Observa que en la notación (𝐴𝑖)𝑖𝜀𝐼 no aparece el contra dominio de la función. Por esta razón, cuando introducimos una familia, es obligatorio decir qué tipo de objetos constituyen su contra dominio Ejemplo 2. Dado el conjunto de índices 𝛬 = 𝐼 = ℤ+ = {1,2,3,…}, entonces para cada 𝑛 𝜀 ℤ+ sea: 𝐷𝑛 = {𝑥 : 𝑥 𝜀 ℤ+, 𝑥 𝑒𝑠 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑛}. Entonces 𝐷1 = {1,2,3,4, … } 𝐷2 = {2,4,6,8, …} 𝐷3 = {3,6,9, … } 11 𝐷4 = {4,8, 12,… } ⋮ ⋮ ⋮ Por ejemplo, una familia de personas es una función cuyo contra dominio es un conjunto de personas. Del mismo modo, una familia de monos es una función cuyo contra dominio es un conjunto de monos. Como se ha mencionado anteriormente, el uso más frecuente del término familia es cuando el contra dominio de la función es una colección de conjuntos. Se trata, pues, de una familia de conjuntos. En este caso existen notaciones especiales para la unión y la intersección de la colección. Unión de familias indexadas Si 𝐹 = (𝐴𝑖) 𝑖𝜀𝐼 = {𝐴𝑖 ∶ 𝑖 𝜀 𝐼 = 𝛬} es una familia de conjuntos, entonces la unión de la familia se define, por ⋃𝐴𝑖 𝑖𝜀𝐼 = {𝑥: ∃ 𝑖 𝜀 𝐼 , 𝑥 𝜀 𝐴𝑖} Intersección de familias indexadas Si 𝐹 = (𝐴𝑖) 𝑖𝜀𝐼 = {𝐴𝑖 ∶ 𝑖 𝜀 𝐼 = 𝛬} es una familia de conjuntos, entonces la unión de la familia se define, por ⋂𝐴𝑖 𝑖𝜀𝐼 = {𝑥: ∀ 𝑖 𝜀 𝐼 , 𝑥 𝜀 𝐴𝑖} Ejemplo 3. Sea la familia de conjunto 𝐴𝑛 = {𝑛, 𝑛 + 1, 2𝑛}, para cada 𝑛 𝜀 ℕ Constrúyase dos familias indexadas distintitas y halle la unión e intersección de dichas familias. Resolución Construyo las familias indexadas 𝐴1 = {1, 2, 2} = {1,2} 𝐴2 = {2, 3, 4} 𝐴3 = {3, 4, 6} ⋮ ⋮ ⋮ ℱ = {𝐴𝑖 ∶ 𝑖 𝜀 ℕ} donde el índice de ℱ es ℕ otra familia indexada sería 𝒢 = {𝐴𝑖 ∶ 𝑖 𝜀 {2,3,20}}, donde el índice de 𝒢 es {2,3,20} 1. Ahora hallaremos la unión de la familia ℱ = {𝐴𝑖 ∶ 𝑖 𝜀 ℕ} 12 ⋃𝐴𝑖 𝑖𝜀ℕ = {𝑥: ∃ 𝑖 𝜀 ℕ , 𝑥 𝜀 𝐴𝑖} = {1,2, … } = ℕ Se probará que ⋃𝐴𝑖 𝑖𝜀ℕ = ℕ Por lo que se probará mediante la doble inclusión a) ⋃𝐴𝑖 𝑖𝜀ℕ ⊂ ℕ Si 𝑥 𝜀⋃𝐴𝑖 𝑖𝜀ℕ → ∃𝑚 𝜀 ℕ / 𝑥 𝜀 𝐴𝑚} ⊂ ℕ → ∃𝑚 𝜀 ℕ ∶ 𝑥 𝜀 {𝑚,𝑚 + 1, 2𝑚 } → ∃𝑚 𝜀 ℕ ∶ 𝑥 = 𝑚 ∨ 𝑥 = 𝑚 + 1 ∨ 𝑥 = 2𝑚 Por lo tanto 𝑥 𝜀 ℕ ∴⋃𝐴𝑖 𝑖𝜀ℕ ⊂ ℕ b) ℕ ⊂⋃𝐴𝑖 𝑖𝜀ℕ Si 𝑥 𝜀 ℕ → 𝑚 = 𝑥 𝜀 ℕ → 𝑥 = 𝑚 𝜀 {𝑚,𝑚 + 1, 2𝑚} = 𝐴𝑚 → {∃𝑚 𝜀 ℕ / 𝑥 𝜀 𝐴𝑚} → 𝑥 𝜀⋃𝐴𝑖 𝑖𝜀ℕ ∴ ℕ ⊂⋃𝐴𝑖 𝑖𝜀ℕ De a) y b) se obtiene que ⋃𝐴𝑖 𝑖𝜀ℕ = ℕ hallaremos la intersección de la familia ℱ = {𝐴𝑖 ∶ 𝑖 𝜀 ℕ} ⋂𝐴𝑖 𝑖𝜀𝐼 = {𝑥: ∀ 𝑖 𝜀 𝐼 , 𝑥 𝜀 𝐴𝑖} = 𝜙 Asumiendo que ⋂𝐴𝑖 𝑖𝜀𝐼 ≠ 𝜙 → ∃ 𝑥 𝜀 ⋂𝐴𝑖 𝑖𝜀𝐼 → ∀𝑖 ∶ 𝑥 𝜀 𝐴𝑖 , En particular 13 𝑥 𝜀 𝐴1 = {1,2} ∧ 𝑥 𝜀 𝐴2 = {2,3,4} ∧ 𝑥 𝜀 𝐴3 = {3,4, 6} → 𝑥 = 1 ó 2 ∧ 𝑥 = 2, ó, 3. ó 6 ∧ 𝑥 = 3 ó 4 ó 6 Lo que es una contradicción ⋂𝐴𝑖 𝑖𝜀𝐼 = 𝜙 2. Ahora hallaremos la unión de la familia 𝒢 = {𝐴𝑖 ∶ 𝑖 𝜀 {2,3,20}} ⋃ 𝐴𝑖 𝑖𝜀{2,3,20} = {𝑥: ∃ 𝑖 𝜀 {2,3,20} , 𝑥 𝜀 𝐴𝑖} = 𝐴2 ∪ 𝐴3 ∪ 𝐴20 = {2,3,4} ∪ {3,4,6} ∪ {20,21, 40} = {2,3,4,6,20,21} hallaremos la intersección de la familia: Como no existe un elemento común en mis tres conjuntos, entonces la intersección es vacía ⋂ 𝐴𝑖 𝑖𝜀{2,3,20} = {𝑥: ∀ 𝑖 𝜀 {2,3,20} , 𝑥 𝜀 𝐴𝑖} = 𝜙 Incursionamos en los conceptos básicos de la topología, por lo que daremos los siguientes conceptos: Espacio vectorial ℝ𝒏 Consideremos el conjunto ℝ𝒏 de las n-uplas de números reales, donde 𝑛 es un número natural arbitrario fijo. Los elementos de ℝ𝒏, que llamamos indistintamente puntos o vectores son entonces todos los conjuntos ordenados 𝑋 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛), donde 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛, son números reales arbitrarios. Dados 𝑋 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) e 𝑌 = (𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛), dos vectores en ℝ𝒏 , decimos que son iguales y escribimos: 𝑋 = Y, cuando 𝑥1 = 𝑦1, … , 𝑥𝑛 = 𝑦𝑛 Definimos la suma de 𝑋 e 𝑌, y el producto de 𝑋 por un número real 𝛼 (que en este contexto llamamos escalar), mediante 𝑖) 𝑋 + 𝑌 = (𝑥1 + 𝑥2, … , 𝑥𝑛 + 𝑦𝑛) , 𝑖𝑖) 𝛼𝑋 = (𝛼𝑥1, 𝛼𝑥2, … , 𝛼𝑥𝑛) Es inmediato verificar las siguientes propiedades, dada en el siguiente Teorema (Propiedades de la suma y el producto) Sean 𝑋, 𝑌, 𝑍 vectores de ℝ𝒏 y α, β números reales o escalares, todos arbitrarios, que verifican las siguientes propiedades: 14 1. Conmutativa: 𝑋 + 𝑌= 𝑌 + X. 2. Asociativa: 𝑋 + (𝑌 + Z) = (𝑋 + 𝑌) + Z. 3. Existencia de vector neutro aditivo ∃ el vector 0 = 𝜃 = (0,… ,0) / 𝑋 + 𝜃 = 𝜃 + 𝑋 = 𝑋. 4. Existencia del vector opuesto: ∃ el vector opuesto −𝑋 = (−𝑥1, −𝑥2, … ,−𝑥𝑛) tal que verifica 𝑋 + (−𝑋) = (−𝑋) + 𝑋 = 𝜃. 5. Asociativa del producto: 𝛼(𝛽𝑋) = (𝛼𝛽)𝑋 6. Distributivas: i) 𝛼(𝑋 + 𝑌) = 𝛼𝑋 + 𝛼𝑌 ii) (𝛼 + 𝛽)𝑋 = 𝛼𝑋 + 𝛽𝑋 7. Existencia de neutro multiplicativo: ∃ el vector neutro multiplicativo 1 𝜀 ℝ, tal que 1𝑋 = 𝑋1 = 𝑋 Este teorema muestra que la cuaterna (ℝ𝒏, ℝ, +, ×), con ℝ𝒏 el conjunto de los vectores, ℝ el de los números reales, y +, × la suma de vectores y el producto de un escalar por un vector, antes definidos, conforman un espacio vectorial. Nota. 1. El conjunto de 𝑛 vectores dado por: 𝑒1 = (1,0, … ,0), 𝑒2 = (0,1, … ,0), 𝑒𝑛 = (0,0, … ,1), se llama base canónica de ℝ𝒏, y dado un vector 𝑋 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) podemos escribir 𝑋 = 𝑥1𝑒1 + 𝑥2𝑒2 +⋯+ 𝑥𝑛𝑒𝑛 2. El espacio vectorial a considerar es: ℝ𝒏 = ℝ × ℝ ×…×ℝ⏟ 𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 Los elementos de dicho espacio son vectores columna 𝑋 = [ 𝑥1 𝑥2 ⋮ 𝑥𝑛 ]. 3. Las nociones topológicas siguientes se van a definir en ℝ𝒏, aunque muchas de ellas no requieren que el conjunto que interviene en las definiciones sea un espacio vectorial. 4. En las definiciones de límite y continuidad intervienen la noción de intervalo abierto centrado en un punto, así como el valor absoluto de la diferencia de dos números reales que no es sino la distancia entre ellos. Asimismo, el concepto de límite es común a la 15 continuidad, derivabilidad e integración. Nuestro objetivo el trabajo de investigación será extrapolar estos conceptos al caso de una función 𝑓 ⃗⃗⃗ ∶ Ω ⊂ ℝ𝑛 → ℝ𝑚 donde 𝑓 ⃗⃗⃗ (𝑋 ) = (𝑓𝑖⃗⃗ (𝑋)) , ∀ 𝑖 = 1,2,… ,𝑚 tal que 𝑛,𝑚 𝜀 ℕ , 𝑋 = 𝑋 = (𝑥1, 𝑥2, , … , 𝑥𝑛) , 𝑓 ⃗⃗⃗ (𝑥1, 𝑥2, , … , 𝑥𝑛, ) = (𝑓1⃗⃗ ⃗(𝑋), 𝑓2⃗⃗ ⃗(𝑋),… , 𝑓𝑚⃗⃗⃗⃗ (𝑋)) 5. En el presente trabajo generalizaremos el espacio ℝ𝑛 a los conceptos topológicos de valor absoluto, intervalo, conjunto abierto, cerrado, punto interior, punto de adherencia, etcétera 6. La introducción de una topología en un espacio ℝ𝑛 es de mucha utilidad a la hora de definir las nociones de límite y continuidad de funciones dependientes de varias variables reales. 7. El concepto de norma es la generalización del concepto de valor absoluto. Así, sabemos que la distancia entre dos números reales 𝑥, 𝑦 𝜀 ℝ viene dado por 𝑑(𝑥, 𝑦) = |𝑦 − 𝑥| Comencemos definiendo en general que es Producto escalar o Producto interno En un espacio vectorial real, ℝ𝒏, se llama producto escalar a una aplicación de ℝ𝒏 × ℝ𝒏 sobre ℝ , que a cada par de vectores 𝑋 , �⃗� de ℝ𝒏 le hace corresponder un número real que se representa por 𝑋 . �⃗� o ⟨𝑋 , �⃗� ⟩ mediante 𝑋 . �⃗� = ⟨𝑋 , �⃗� ⟩ = ⟨(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛), (𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛)⟩ = 𝑥1𝑦1 + 𝑥2𝑦2 +⋯+ 𝑥𝑛𝑦𝑛 Propiedades i) Positividad: ⟨𝑋 , 𝑋 ⟩ ≥ 0, ⟨𝑋 , 𝑋 ⟩ = 0 ↔ 𝑋 = 0, 𝑋 𝜀 ℝ𝒏. ii) Homogeneidad: ⟨𝛼𝑋 , �⃗� ⟩ = 𝛼⟨𝑋 , �⃗� ⟩ iii) Bilinealidad { (𝛼𝑋 + 𝛽�⃗� )𝑍 = 𝛼(𝑋 . 𝑍 ) + 𝛽(�⃗� . 𝑍 ) 𝑋 . (𝛼�⃗� + 𝛽𝑍 ) = 𝛼(𝑋 . 𝑍 ) + 𝛽(𝑋 . 𝑍 ) , ∀ 𝑋 , �⃗� , 𝑍 𝜀 ℝ𝒏, ∀𝛼, 𝛽 𝜀 ℝ iv) Conmutativo: ⟨𝑋 , �⃗� ⟩ = ⟨�⃗� , 𝑋 ⟩, ∀ 𝑋 , �⃗� 𝜀 ℝ𝒏. Nota 1. El producto escalar no es una ley de composición interna, pues el resultado del producto escalar de dos vectores no es un vector, sino un escalar. 2. Hay muchas aplicaciones que pueden ser producto escalar, pero el producto escalar con el que se trabajará es el siguiente: 16 𝑋 . �⃗� = ⟨𝑋 , �⃗� ⟩ = [ 𝑥1 𝑥2 ⋮ 𝑥𝑛 ] [ 𝑦1 𝑦2 ⋮ 𝑦𝑛 ] =∑𝑥𝑖 . 𝑦𝑖 𝑣 𝑖=1 = 𝑥1𝑦1 + 𝑥2𝑦2 +⋯+ 𝑥𝑛𝑦𝑛 3. Al espacio vectorial real de dimensión finita, 𝑛, en el que esté definido un producto escalar,⟨𝑋 , �⃗� ⟩,se le denomina espacio vectorial euclídeo 𝑛 dimensional 4. El producto interno que acabamos de definir nos permite considerar la norma euclidiana de un vector 𝑋 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) en ℝ𝒏. Norma euclídea Se llama norma de un vector 𝑋 𝜀 ℝ𝒏 a una aplicación de ℝ𝒏 sobre ℝ, es decir ‖𝑋 ‖: ℝ𝒏 → ℝ+ 𝑋 ⟼ ‖𝑋 ‖ de forma que a 𝑋 se le hace corresponder un escalar que se representa por ‖𝑋 ‖ norma de 𝑋 , la definimos mediante ‖𝑋 ‖ = √⟨𝑋 , 𝑋 ⟩ = √𝑥1 2+ 𝑥2 2 +⋯+ 𝑥𝑛2 = √∑𝑥𝑖 2 𝑛 𝑖=1 debiendo cumplir dicha aplicación las siguientes propiedades que la enunciamos en el siguiente teorema Teorema Sean 𝑋 un vectores de ℝ𝒏 y α un número real o escalar, ambos arbitrarios. Se verifican las siguientes propiedades: (N1) Positividad: ‖𝑋 ‖ ≥ 0 , ‖𝑋 ‖ = 0 si y sólo si 𝑋 = 𝜃. (N2) Homogeneidad: ∀𝛼 𝜀 ℝ se tiene ‖𝛼𝑋 ‖= |𝛼|‖𝑋 ‖, ∀ 𝑋 ℝ𝑛 / 𝑋 ≠ 𝜃 (N3) Desigualdad triangular ‖𝑋 + �⃗� ‖ ≤ ‖𝑋 ‖ + ‖�⃗� ‖, ∀ 𝑋 , �⃗� 𝜖 ℝ𝑛. Nota. 1. El par ( ℝ𝑛, ‖𝑋 ‖ ) se llama Espacio vectorial normado 17 2. De la desigualdad triangular obtenemos |‖𝑋 ‖ − ‖�⃗� ‖| ≤ ‖𝑋 − �⃗� ‖ 3. Hay aplicaciones que son norma al cumplir estas propiedades, pero la que se va a utilizar es la norma euclídea definida a partir del producto escalar mencionado antes. La norma euclídea es una aplicación definida de un espacio euclídeo sobre ℝ𝑛, de tal forma que a un vector cualquiera de dicho espacio, 𝑋 𝜖 ℝ𝑛, se le hace corresponder un escalar igual a la raíz cuadrada con signo positivo del producto escalar del vector 𝑋 por sí mismo, es decir ‖𝑋 ‖ = +√𝑋 . 𝑋 = +√⟨𝑋 , 𝑋 ⟩ Además de cumplir las tres propiedades anteriores, la norma euclídea cumple una cuarta propiedad: (N4) Desigualdad de Cauchy Schwarz: |𝑋 . �⃗� | ≤ ‖𝑋 ‖‖�⃗� ‖ , ∀ 𝑋 , �⃗� 𝜖 ℝ𝑛 Esta última propiedad se determina mediante el siguiente teorema Teorema: (Desigualdad de Cauchy-Schwarz). Dados dos vectores 𝑋 , �⃗� 𝜖 ℝ𝑛, se verifica |𝑋 . �⃗� | ≤ ‖𝑋 ‖‖�⃗� ‖ , ∀ 𝑋 , 𝑌 ⃗⃗ ⃗𝜖 ℝ𝑛 Además, se verifica que |𝑋 . �⃗� | = ‖𝑋 ‖‖�⃗� ‖ si, y sólo si los vectores 𝑋 , �⃗� son linealmente dependientes, es decir, existen escalares 𝛼, 𝛽, no simultáneamente nulos, tales que: 𝛼𝑋 + 𝛽�⃗� = 0 Demostración. Supongamos que 𝑋 𝑒 �⃗� son dos vectores no nulos (si alguno es nulo, se verifica la igualdad del teorema). Para un escalar 𝛼 , aplicando la positividad (N1), tenemos 0 ≤ ⟨𝛼𝑋 + �⃗� , 𝛼𝑋 + �⃗� ⟩ = 𝛼2⟨𝑋 , 𝑋 ⟩ + 2𝛼⟨𝑋 , �⃗� ⟩ + ⟨�⃗� , �⃗� ⟩ Luego, el discriminante del polinomio de segundo grado en α debe ser no positivo, es decir ∆ = 4⟨𝑋 , �⃗� ⟩ 2 − 4⟨𝑋 , 𝑋 ⟩⟨�⃗� , �⃗� ⟩ ≤ 0 4⟨𝑋 , �⃗� ⟩ 2 ≤ 4⟨𝑋 , 𝑋 ⟩⟨�⃗� , �⃗� ⟩ ⟨𝑋 , �⃗� ⟩ 2 ≤ ⟨𝑋 , 𝑋 ⟩⟨�⃗� , �⃗� ⟩ 18 ∴ |⟨𝑋 , �⃗� ⟩| ≤ ‖𝑋 ‖‖�⃗� ‖ Además, ∃ 𝛼 tal que 𝛼𝑋 + �⃗� = 0, es decir ⟨𝛼𝑋 + �⃗� , 𝛼𝑋 + �⃗� ⟩ = 0 ↔ ∆ = 4⟨𝑋 , �⃗� ⟩ 2 − 4⟨𝑋 , 𝑋 ⟩⟨�⃗� , �⃗� ⟩ = 0 ↔ |⟨𝑋 , 𝑌⟩| = ‖𝑋 ‖‖𝑌‖ Esto completa la demostración. Demostración de la propiedad triangular (N3). Utilizando la desigualdad de Cauchy-Schwarz |⟨𝑋 , �⃗� ⟩| ≤ ‖𝑋 ‖‖�⃗� ‖ Tenemos que ‖𝑋 + �⃗� ‖ 2 = ⟨𝑋 + �⃗� , 𝑋 + �⃗� ⟩ = ⟨𝑋 , 𝑋 ⟩ + 2⟨𝑋 , �⃗� ⟩ + ⟨�⃗� , �⃗� ⟩ ≤ ⟨𝑋 , 𝑋 ⟩ + 2‖𝑋 ‖‖�⃗� ‖ + ⟨�⃗� , �⃗� ⟩ = ‖𝑋 ‖ 2 +2‖𝑋 ‖‖�⃗� ‖ + ‖�⃗� ‖ 2 = [‖𝑋 ‖ 2 + ‖�⃗� ‖ 2 ] 2 ‖𝑋 + �⃗� ‖ ≤ ‖𝑋 ‖ + ‖�⃗� ‖ Definición (Norma usual). Una norma en ℝ𝑛 es una función 𝑁: ℝ𝑛 → ℝ, que verifica las propiedades (N1), (N2) y (N3) del teorema de norma euclidea. La norma euclidiana definida como: ‖𝑋 ‖ = √⟨𝑋 , 𝑋 ⟩ = √𝑥1 2+ 𝑥2 2 +⋯ ,+ 𝑥𝑛2 es la norma usual, y escribimos también: ‖𝑋 ‖ = ‖𝑋 ‖ 2 = √𝑥1 2+ 𝑥2 2 +⋯ ,+ 𝑥𝑛 2 (el 2 recuerda los cuadrados de la cantidad sub radical), cuando escribimos norma nos referimos a la norma usual Ejemplos de normas en ℝ𝑛 1. La norma del máximo, o norma infinito, que es el número real ‖𝑋 ‖ ∞ definido como ‖𝑋 ‖ ∞ = max 1≤𝑖≤𝑛 |𝑥𝑖| = máx{|𝑥1| , |𝑥2| … , |𝑥𝑛|} = 𝑠𝑢𝑝 𝑖=1,…,𝑛 |𝑥𝑖| 19 2. La norma de la suma, o norma-uno, que es el número real ‖𝑋 ‖ 1 definido como ‖𝑋 ‖ 1 = |𝑥1| + |𝑥2| + ⋯+ |𝑥𝑛| =∑|𝑥𝑖| 𝑛 𝑖=1 Por lo que podemos afirmar que los pares ( ℝ𝑛, ‖𝑋 ‖ 2), ( ℝ𝑛, ‖𝑋 ‖ ∞) , ( ℝ 𝑛, ‖𝑋 ‖ 1) son espacios vectoriales normados. 4. La norma 𝑝 que es el número real ‖𝑋 ‖ 𝑝 definido como ‖𝑋 ‖ 𝑝 = √|𝑥1|𝑝 + |𝑥2|𝑝 +⋯+ |𝑥𝑛|𝑝 𝑝 = √∑|𝑥𝑖|𝑝 𝑛 𝑖=1 𝑝 ∀ 𝑋 𝜖 ℝ𝑛, 𝑝 número natural, 𝑝 ≥ 1 continuamos con el desarrollo de la existencia de distintas normas En ℝ𝑛 (con 𝑛 ≥ 2) existen 3 distancias especialmente muy importantes, asociadas a las normas: ‖𝑋 ‖ 2 , ‖𝑋 ‖ 1 y ‖𝑋 ‖ ∞ , respectivamente: a) 𝑑2(𝑋 , �⃗� ) = 𝑑2((𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛), (𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛)) = √∑|𝑥𝑖 − 𝑦𝑖| 2 𝑛 𝑖=1 = ‖𝑋 ‖ 2 conocida también como distancia usual o distancia euclídea. b) 𝑑1(𝑋 , �⃗� ) = 𝑑1((𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛), (𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛)) =∑|𝑥𝑖 − 𝑦𝑖| 2 𝑛 𝑖=1 = ‖𝑋 ‖ 1 c) 𝑑∞(𝑋 , �⃗� ) = 𝑑∞((𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛), (𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛)) = máx 1≤𝑖≤𝑛 {|𝑥𝑖 − 𝑦𝑖|} = ‖𝑋 ‖∞, La existencia de diversas normas en ℝ𝑛 motiva la introducción de la siguiente noción Definición. (Normas equivalentes). Sean 𝑁1 = ‖. ‖ y 𝑁2 = ‖. ‖ ∗ dos normas definidas en ℝ𝑛. Decimos que 𝑁1 es equivalente a 𝑁2, si es que existen dos reales positivos α y β, tales que: 𝛼‖. ‖ ≤ ‖. ‖∗ y ‖. ‖∗ ≤ 𝛽‖. ‖ 20 Nota. De la definición podemos demostrar que dos normas ‖. ‖ y ‖. ‖∗ del espacio vectorial ℝ𝑛 son equivalentes si y sólo si existen constantes reales positivas α y β, tales que 𝛼‖. ‖ ≤ ‖. ‖∗ ≤ 𝛽‖. ‖ , ∀ 𝑋 en ℝ𝑛 o 𝛼𝑁1(𝑋 ) ≤ 𝑁2(𝑋 ) ≤ 𝛽𝑁1(𝑋 ), ∀ 𝑋 𝜀 ℝ𝑛. Demostración Recordemos que por definición de dos normas ‖. ‖ y ‖. ‖∗ del espacio vectorial ℝ𝑛 son equivalentes si y solo si las correspondientes distancias inducidas determinan la misma topología, es decir si denotamos con 𝑑(𝑋 , �⃗� ) y 𝑑∗(𝑋 , �⃗� ) a las distancias asociadas a estas normas, entonces 𝛼𝑑(𝑋 , �⃗� ) ≤ 𝑑∗(𝑋 , �⃗� ) y 𝑑∗(𝑋 , �⃗� ) ≤ 𝛽𝑑(𝑋 , �⃗� ), ∀ 𝑋 , �⃗� 𝜀 ℝ𝑛 Ahora bien si denotamos con 𝐵𝑟(𝑍 ) y 𝐵𝑟 ∗(𝑍 ) a las bolas abiertas de centro 𝑍 y radio 𝑟 con respecto a las métricas 𝑑(𝑋 , �⃗� ) y 𝑑∗(𝑋 , �⃗� ) respectivamente, entonces 𝐵𝑟 𝛼 (𝑍 ) = {𝑋 𝜀 ℝ𝑛: 𝑑(𝑋 , 𝑍 ) < 𝑟 𝛼 } ⊆ {𝑋⃗⃗⃗⃗ 𝜀 ℝ𝑛: 𝑑∗(𝑋 , 𝑍 ) < 𝑟} = 𝐵𝑟 ∗(𝑍 ) y 𝐵𝑟 𝛽 ∗(𝑍 ) = {𝑋 𝜀 ℝ𝑛: 𝑑∗(𝑋 , 𝑍 ) < 𝑟 𝛽 } ⊆ {𝑋⃗⃗⃗⃗ 𝜀 ℝ𝑛: 𝑑(𝑋 , 𝑍 ) < 𝑟} = 𝐵𝑟(𝑍 ) constituyen dos bases de una misma topología en ℝ𝑛, puesto que un subconjunto 𝐴 de ℝ𝑛 es acotado con respecto a 𝑑(𝑋 , �⃗� ) si y sólo si lo es con respecto a 𝑑∗(𝑋 , �⃗� ), los entonos definidos por 𝑑(𝑋 , �⃗� ) y 𝑑∗(𝑋 , �⃗� ) son los mismos y por el teorema de caracterización de distancias equivalentes por bolas, concluimos que las dos normas generan la misma topología en ℝ𝑛 , luego son equivalentes. Aplicando la definición, normas equivalentes es posible verificar la relación ‖𝑋 ‖ ∞ ≤ ‖𝑋 ‖ 2 ≤ ‖𝑋 ‖ 1 ≤ 𝑛‖𝑋 ‖ ∞ , ∀ 𝑋 en ℝ𝑛 En efecto, empezaremos verificando la segunda desigualdad, es decir ‖𝑋 ‖ 2 ≤ ‖𝑋 ‖ 1 .para lo cual utilizaremos la desigualdad triangular. Sabemos que ‖𝑋 ‖ 2 = √|𝑥1| 2 + |𝑥2| 2 +⋯+ |𝑥𝑛| 2 ≤ √|𝑥1| 2 +√|𝑥2| 2 +⋯+ √|𝑥𝑛| 2 = |𝑥1| + |𝑥2| + ⋯+ |𝑥𝑗 | + ⋯+ |𝑥𝑛| =∑|𝑥𝑖| 𝑛 𝑖=1 = ‖𝑋 ‖ 1 21 ‖𝑋 ‖ 2 ≤ ‖𝑋 ‖ 1 Verificaremos ahora que: ‖𝑋 ‖ ∞ ≤ ‖𝑋 ‖ 1 Sabemos que: ‖𝑋 ‖ 1 = |𝑥1| + |𝑥2| + ⋯+ |𝑥𝑗 | + ⋯+ |𝑥𝑛| Entonces |𝑥𝑗| ≤ |𝑥1| + |𝑥2| + ⋯+ |𝑥𝑗 | + ⋯+ |𝑥𝑛| ‖𝑋 ‖ 1 ≥ |𝑥𝑗| = max 1≤𝑖≤𝑛 {|𝑥1|, |𝑥2|, … , |𝑥𝑗|, … , |𝑥𝑛|} = max 1≤𝑖≤𝑛 {|𝑥𝑖|} = ‖𝑋 ‖ ∞ ‖𝑋 ‖ 1 ≥ ‖𝑋 ‖ ∞ ‖𝑋 ‖ ∞ ≤ ‖𝑋 ‖ 1 Ahora se probará que: ‖𝑋 ‖ 1 ≤ 𝑛‖𝑋 ‖ ∞ Tenemos que 𝑛 − 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠, 𝑛 − 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 { |𝑥𝑗 | ≥ |𝑥1| |𝑥𝑗| ≥ |𝑥2| ⋮ ⋮ ⋮ |𝑥𝑗| ≥ |𝑥𝑛| |𝑥𝑗 | + |𝑥𝑗| + ⋯+ |𝑥𝑗|⏟ 𝑛−𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 ≥ |𝑥1| + |𝑥2| + ⋯+ |𝑥𝑛| 𝑛|𝑥𝑗| ≥ ∑|𝑥𝑖| 𝑛 𝑖=1 = ‖𝑋 ‖ 1 ‖𝑋 ‖ 1 ≤ 𝑛|𝑥𝑗| ‖𝑋 ‖ 1 ≤ 𝑛‖𝑋 ‖ ∞ Lo que nos permite concluir que las tres normas son equivalentes, es decir ‖𝑋 ‖ ∞ ≤ ‖𝑋 ‖ 2 ≤ ‖𝑋 ‖ 1 ≤ 𝑛‖𝑋 ‖ ∞ , ∀ 𝑋 en ℝ𝑛 También podemos demostrar que ‖𝑋 ‖ ∞ ≤ ‖𝑋 ‖ 1 ≤ 𝑛‖𝑋 ‖ ∞ , ∀ 𝑋 en ℝ𝑛 En efecto Tenemos que ‖𝑋 ‖ 𝑖 = ‖(‖𝑥1‖, … , ‖𝑥𝑛‖)‖𝑖 para 𝑖 = 1,2, … ,∞ Pero vemos que ‖𝑋 ‖ 1 = |𝑥1| + |𝑥2| + ⋯+ |𝑥𝑗| + ⋯+ |𝑥𝑛| =∑|𝑥𝑖| 𝑛 𝑖=1 22 ‖𝑋 ‖ 2 = √∑|𝑥𝑖| 2 𝑛 𝑖=1 ‖𝑋 ‖ ∞ = máx {|𝑥𝑖| / 𝑖 = 1,2, … , 𝑛} Notar que para 𝑛 = 1 las tres normas coinciden con el valor absoluto Por lo que son normas ‖𝑋 ‖ ∞ = √‖𝑋 ‖ ∞ 2 ≤ √∑‖𝑥𝑖‖ 2 𝑛 𝑖=1 = ‖𝑋 ‖ 2 ≤ √∑‖𝑥𝑖‖ 2 + 2∑‖𝑥𝑖‖‖𝑥𝑗‖ 𝑖<𝑗 𝑛 𝑖=1 = √(∑‖𝑥𝑖‖ 𝑛 𝑖=1 ) 2 = ‖𝑋 ‖ 1 ≤∑‖𝑋 ‖ ∞ 𝑛 𝑖=1 = 𝑛‖𝑋 ‖ ∞ Sin pérdida de generalidad se puede demostrar que ‖𝑋 ‖ ∞ ≤ ‖𝑋 ‖ 𝑝 ≤ 𝑛 1 𝑝‖𝑋 ‖ ∞ , ∀ 𝑋 en ℝ𝑛, (𝑝 = 1,2) y concluir que las tres normas son equivalentes Hemos obtenido distintas formas de medir en ℝ𝑛 . Sin embargo, ¿dependen los resultados de la norma escogida? La respuesta es No. De hecho en ℝ𝑛 todas las normas son equivalentes, es decir, dadas ‖𝑋 ‖ 1 y ‖𝑋 ‖ 2 normas en ℝ𝑛, existen 𝛼 , 𝛽 𝜀 ℝ tales que: ‖𝑋 ‖ 1 ≤ 𝛼‖𝑋 ‖ 2 y ‖𝑋 ‖ 2 ≤ 𝛽‖𝑋 ‖ 1 La definición de límite será independiente de la norma elegida. Por ello, a partir de ahora utilizaremos la norma euclídea ‖𝑋 ‖ 2 . También es de señalar que la distancia euclídea entre dos vectores 𝑋 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) e �⃗� = (𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛) viene dada por la fórmula 𝑑(𝑋 , �⃗� ) = √(𝑦1 − 𝑥1) 2 + (𝑦2 − 𝑥2) 2 +⋯+ (𝑦𝑛 − 𝑥𝑛) 2 = ‖�⃗� − 𝑋 ‖ 2 El concepto análogo al de intervalo en el caso multidimensional es el de bola, este permitirá desarrollar la topología de ℝ𝑛. Bola abierta o disco abierto Fijada una norma ‖𝑋 ‖ de ℝ𝑛, dado un punto 𝑋 𝜀 ℝ𝑛 y un número real 𝑟 > 0, se define la bola abierta o disco abierto de centro 𝑋 y radio 𝑟 como el conjunto 𝐵(𝑋 , 𝑟) = {𝑌 ⃗⃗ ⃗𝜀 ℝ𝑛 ∶ ‖𝑋 − �⃗� ‖ < 𝑟} Análogamente 23 Bola cerrada Fijada una norma ‖𝑋 ‖ de ℝ𝑛, dado un punto 𝑋 𝜀 ℝ𝑛 y un número real 𝑟 > 0, se define la bola cerrada de centro 𝑋 y radio 𝑟 como el conjunto 𝐵[𝑋 , 𝑟] = 𝐵(𝑋 , 𝑟) = {𝑌 ⃗⃗ ⃗𝜀 ℝ𝑛 ∶ ‖𝑋 − �⃗� ‖ ≤ 𝑟} Bola reducida o bola abierta perforada Fijada una norma ‖𝑋 ‖ de ℝ𝑛, dado un punto 𝑋 𝜀 ℝ𝑛 y un número real 𝑟 > 0, se define la bola abierta o disco abierto de centro 𝑋 y radio 𝑟 como el conjunto 𝐵∗(𝑋 , 𝑟) = {𝑌 ⃗⃗ ⃗𝜀 ℝ𝑛 ∶ 0 < ‖𝑋 − �⃗� ‖ < 𝑟} = 𝐵(𝑋 , 𝑟) − {𝑋 } El aspecto grafico que tienen ‖𝑋 ‖ 1 , ‖𝑋 ‖ 2 , ‖𝑋 ‖ ∞ para las normas cuando 𝑛 = 1,2. no son más que el concepto de intervalo cuando la norma elegida es el valor absoluto sobre ℝ Para 𝒏 = 𝟏, es decir en ℝ Bola abierta de centro cero y radio 1 𝐵(0,1) = {𝑥 𝜀 ℝ ∶ |𝑥| < 1} = {𝑥 𝜀 ℝ ∶ −1 < 𝑥 < 1} = 〈−1,1〉 Bola cerrada de centro 0 y radio 1 𝐵[0,1] = {𝑥 𝜀 ℝ ∶ |𝑥| ≤ 1} = {𝑥 𝜀 ℝ ∶ −1 ≤ 𝑥 ≤ 1} = [−1,1] Bola abierta reducida de centro 0 y radio 1 𝐵∗(0,1) = {𝑥 𝜀 ℝ ∶ |𝑥| < 1} = {𝑥 𝜀 ℝ ∶ −1 < 𝑥 < 1 − {0}} = 〈−1,1〉 − {0} 1 -1 0 1 -1 0 1 -1 0 24 Para 𝒏 = 𝟐, es decir en ℝ𝟐 Bola abierta de centro cero y radio 1 en ‖𝑋 ‖ 1 𝐵(0,1) = {𝑋 = (𝑥, 𝑦) 𝜀 ℝ𝟐 ∶ |𝑥| + |𝑦| < 1} Bola cerrada de centro cero y radio 1 en ‖𝑋 ‖ 1 𝐵[0,1] = {𝑋 = (𝑥, 𝑦) 𝜀 ℝ𝟐 ∶ |𝑥| + |𝑦| < 1} Bola abierta perforada centro cero y radio 1 en ‖𝑋 ‖ 1 𝐵∗(0,1) = {𝑋 = (𝑥, 𝑦) 𝜀 ℝ𝟐 ∶ |𝑥| + |𝑦| < 1} –{(0,0)} Bola abierta de centro cero y radio 1 en ‖𝑋 ‖ 2 𝐵(0,1) = {𝑋 = (𝑥, 𝑦) 𝜀 ℝ𝟐: 𝑑(𝑋 , 0⃗ ) = √𝑥2 + 𝑦2 < 1} Bola cerrada de centro cero y radio 1 en ‖𝑋 ‖ 2 𝐵[0,1] = {𝑋 = (𝑥, 𝑦) 𝜀 ℝ𝟐: 𝑑(𝑋 , 0⃗ ) = √𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1} (1,0) (0,1) (1,0) (0,1) (1,0) (0,1) (1,0) (0,1) 25 Bola abierta perforada de centro cero y radio 1 en ‖𝑋 ‖ 2 𝐵∗(0,1) = {𝑋 = (𝑥, 𝑦) 𝜀 ℝ𝟐: 𝑑(𝑋 , 0⃗ ) = √𝑥2 + 𝑦2 < 1} – {0⃗ } Bola abierta de centro cero y radio 1 en ‖𝑋 ‖ ∞ 𝐵(0,1) = {𝑋 = (𝑥, 𝑦) 𝜀 ℝ𝟐: 𝑚á𝑥 {|𝑥| + |𝑦|} < 1} Bola cerrada de centro cero y radio 1 en ‖𝑋 ‖ ∞ 𝐵[0,1] = {𝑋 = (𝑥, 𝑦) 𝜀 ℝ𝟐: 𝑚á𝑥 {|𝑥| + |𝑦|} ≤ 1} Bola abierta perforada de centro cero y radio 1 en ‖𝑋 ‖ ∞ 𝐵∗(0,1) = {𝑋 = (𝑥, 𝑦) 𝜀 ℝ𝟐: 𝑚á𝑥 {|𝑥| + |𝑦|} < 1} – {0⃗ } (1,0) (0,1) (1,0) (0,1) (0,0) (1,1) (0,0) (1,1) (0,0) (1,1) 26 sabiendo lo que es una bola abierta en ℝ𝑛, podemos construir los conceptos fundamentales que conforman la topología de espacios métricos. El primero de estos conceptos es el de conjunto abierto que básicamente son los bloques de construcción de un espacio topológico. Definición. Un conjunto 𝐴 ⊂ ℝ𝑛, se dice que es abierto si y sólo si o bien 𝐴 =∙ 𝜙, o bien, para cada 𝑝 𝜀 𝐴, ∃ 𝐵(𝑝 , 𝑟) ⊂ 𝐴. Es decir si para cada 𝑝 𝜀 𝐴 existe 𝑟 > 0 tal que la bola de centro 𝑝 y radio 𝑟 esta íntegramente contenida en 𝐴. Definición. Un conjunto 𝐹 ⊂ ℝ𝑛, se dice que es cerrado, si su complemento es un conjunto abierto, es decir 𝐹 𝑒𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑠𝑖 𝐹𝐶 = ℝ𝑛 − 𝐹 = {𝑋 𝜀 ℝ𝑛: 𝑋 ∉ 𝐹} 𝑒𝑠 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 Veamos quienes son los abiertos en la topología de ℝ𝑛 generada por la norma ‖𝑋 ‖ 2 Ejemplo. El espacio ℝ𝑛 y el conjunto vacío son conjunto abierto. En efecto pues debemos demostrar que cualquier 𝑋 𝜀 𝐵2(𝑝, 𝜀) , existe 𝛿 > 0, tal que 𝐵2(𝑋 , 𝛿) ⊂ 𝐵2(𝑝, 𝜀) Haremos un gráfico el cual nos ayudara a proponer algún 𝜀 > 0 Elijamos 𝛿 = 𝜀 − ‖𝑋 − 𝑝‖ 2 . Podemos ver que el 𝛿 cumple para 𝐵2(𝑋 , 𝛿) ⊂ 𝐵2(𝑝, 𝜀) Sea �⃗� 𝜀 𝐵2(𝑋 , 𝛿). Se quiere probar que ‖�⃗� − 𝑝‖ 2 < 𝜀 para lo cual usaremos la desigualdad triangular ‖�⃗� − 𝑝‖ 2 = ‖(�⃗� − 𝑋 ) + (𝑋 − 𝑝)‖ 2 𝑝 𝜀 𝑋 ⃗⃗ ⃗ 𝑑2(𝑋 , 𝑝) 𝛿 27 ≤ ‖�⃗� − 𝑋 ‖ 2 + ‖𝑋 − 𝑝‖ 2 de donde se tiene que: ‖�⃗� − 𝑋 ‖ 2 < 𝛿, puesto que �⃗� 𝜀 𝐵2(𝑋 , 𝛿) Luego ‖�⃗� − 𝑝‖ 2 ≤ ‖�⃗� − 𝑋 ‖ 2 + ‖𝑋 − 𝑝‖ 2 < 𝛿 + ‖𝑋 − 𝑝‖ 2 = (𝜀 − ‖𝑋 − 𝑝‖ 2 ) + ‖𝑋 − 𝑝‖ 2 = 𝜀 es decir �⃗� 𝜀 𝐵2(𝑝, 𝜀) Demostraremos que el conjunto 𝜙 es un conjunto abierto Lo haremos por reducción al absurdo Asumamos que 𝜙 no es un conjunto abierto, por lo tanto existe un elemento 𝑋 𝜀 𝜙 para el cual no es posible hallar una bola abierta 𝐵(𝑋 , 𝑟) contenida en 𝜙, pero esto no es posible ya que 𝜙 no posee elementos, por lo tanto vacío es abierto. Ejemplo. Sea 𝐴 = {(𝑥, 𝑦) 𝜀 ℝ2: 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 , 𝑐 < 𝑦 < 𝑑}. Demostrar que 𝐴 es un conjunto abierto Demostración. Sea 𝑋 = (𝑥1, 𝑦1) 𝜀 𝐴 entonces 𝑎 < 𝑥1 < 𝑏, 𝑐 < 𝑦1 < 𝑑 Definimos 𝜀 = 𝑚í𝑛 {𝑥1 − 𝑎, 𝑏 − 𝑥1, 𝑦1 − 𝑐, 𝑑 − 𝑦1 }. Por tanto si (𝑥, 𝑦) 𝜀 𝐵(𝑋 , 𝜀) debe de ocurrir que 𝑎 < 𝑥1 − 𝜀 < 𝑥 < 𝑥1 + 𝜀 < 𝑏 y 𝑐 < 𝑦1 − 𝜀 < 𝑦 < 𝑦1 + 𝜀 < 𝑑 lo que indica que (𝑥, 𝑦) 𝜀 𝐴, por lo tanto 𝐵(𝑋 , 𝜀) 𝜀 𝐴 y en consecuencia 𝐴 es un conjunto abierto Proposición Toda bola abierta en ℝ𝑛 es un conjunto abierto 𝑎 𝑐 𝑏 𝑑 𝑥1 𝑦1 (𝑥, 𝑦) 𝑦1 − 𝜀 𝑦1 + 𝜀 𝑥 𝑦 𝐴 28 Demostración Sea 𝑋 0 𝜀 ℝ𝑛 y 𝑟 > 0. Demostraremos que 𝐵(𝑋 0, 𝑟) es un conjunto abierto, es decir se probara que para cada 𝑋 𝜀 𝐵(𝑋 0, 𝑟) existe una bola abierta 𝐵(𝑋 , 𝑟) contenida a su vez en la bola abierta 𝐵(𝑋 0, 𝑟). Sea pues 𝑋 𝜀 𝐵(𝑋 0, 𝑟) y consideraremos 𝑅 = 𝑟 − ‖𝑋 − 𝑋 0‖ Como 𝑋 𝜀 𝐵(𝑋 0, 𝑟) se tiene entonces que ‖𝑋 − 𝑋 0‖ < 𝑟 . Por lo tanto 𝑅 > 0 Mostraremos ahora que la bola 𝐵(𝑋 , 𝑅) ⊂ 𝐵(𝑋 0, 𝑟) Sea �⃗� 𝜀 𝐵(𝑋 , 𝑟) Por definición se tiene que ‖�⃗� − 𝑋 ‖ < 𝑅 Por lo tanto ‖�⃗� − 𝑋 0‖ = ‖�⃗� − 𝑋 + 𝑋 − 𝑋 0‖ ≤ ‖�⃗� − 𝑋 ‖ + ‖𝑋 − 𝑋 0‖ < 𝑅 + ‖𝑋 − 𝑋 0‖ Lo que prueba que �⃗� 𝜀 𝐵(𝑋 0, 𝑟) Teorema. Si 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 es una familia finita de conjuntos abiertos en ℝ𝑛 entonces se cumple que ⋂𝐴𝑖 𝑛 𝑖=1 es un conjunto abierto en ℝ𝑛. Demostración Por inducción i) Para 𝑛 = 2 Si 𝐴1 𝑦 𝐴2 son abiertos de ℝ𝑛 entonces 𝐴1 ∩ 𝐴2 es abierto en ℝ𝑛 si y sólo si ∀ 𝑋 𝜀 (𝐴1 ∩ 𝐴2) existe 𝐵(𝑋 , 𝑟) ⊂ (𝐴1 ∩ 𝐴2). En efecto: 𝑋 𝜀 (𝐴1 ∩ 𝐴2) → 𝑋 𝜀 𝐴1 ∧ 𝑋 𝜀 𝐴2 𝑋 0 𝑟 𝑋 ⃗⃗ ⃗ 𝑅 29 Si 𝑋 𝜀 𝐴1 y 𝐴1 es abierto → ∃ 𝐵(𝑋 , 𝑟1): 𝐵(𝑋 , 𝑟1) ⊂ 𝐴1 Si 𝑋 𝜀 𝐴2 y 𝐴2 es abierto → ∃ 𝐵(𝑋 , 𝑟2): 𝐵(𝑋 , 𝑟2) ⊂ 𝐴2 Como 𝑟1 > 0 𝑦 𝑟2 > 0, entonces tenemos que existe 𝑟 = 𝑚í𝑛 {𝑟1 , 𝑟2} , es decir 𝑟 ≤ 𝑟1 , 𝑟 ≤ 𝑟2. Como: { 𝑟 ≤ 𝑟1 → ∃𝐵(𝑋 , 𝑟1) 𝑟 ≤ 𝑟2 → ∃𝐵(𝑋 , 𝑟2) → ∃𝐵(𝑋 , 𝑟) ⊂ (𝐴1 ∩ 𝐴2) Luego (𝐴1 ∩ 𝐴2) es un conjunto abierto ii) Para 𝑛 = ℎ Supongamos que se cumple para 𝑛 = ℎ , es decir si 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴ℎ es abierto, entonces ⋂𝐴𝑖 ℎ 𝑖=1 es abierto iii) En base al paso ii) debemos demostrar que se cumple para 𝑛 = ℎ + 1 Es decir, si 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴ℎ , 𝐴ℎ+1 es abierto entonces ⋂𝐴𝑖 ℎ+1 𝑖=1 es abierto. Sabemos que ⋂𝐴𝑖 =⋂𝐴𝑖 ℎ 𝑖=1 ℎ+1 𝑖=1 ⋂𝐴ℎ+1 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 ⏟ 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜⏟ Como se cumple para 𝑛 = ℎ + 1, entonces se cumple ∀ 𝑛. Proposición Toda bola cerrada en ℝ𝑛 es un conjunto cerrado Demostración Sea 𝑋 0 𝜀 ℝ𝑛 y 𝑟 ≥ 0. Demostraremos que 𝐵(𝑋 0, 𝑟) que es un conjunto cerrado, es decir ℝ𝑛 − 𝐵(𝑋 0, 𝑟) su complemento es un conjunto abierto. Sea pues 𝑋 𝜀 ℝ𝑛 − 𝐵(𝑋 0, 𝑟), se mostrará que: ∃ 𝐵(𝑋 , 𝑅) ⊂ ℝ𝑛 − 𝐵(𝑋 0, 𝑟) Como 𝑋 ∉ 𝐵(𝑋 0, 𝑟) se tiene entonces que ‖𝑋 − 𝑋 0‖ > 𝑟 30 Definamos 𝑅 = ‖𝑋 − 𝑋 0‖ − 𝑟 > 0 esto equivale a 𝑟 = ‖𝑋 − 𝑋 0‖ − 𝑅. Veamos que 𝐵(𝑋 , 𝑅) ⊂ ℝ𝑛 − 𝐵(𝑋 0, 𝑟) En efecto sea �⃗� 𝜀 𝐵(𝑋 , 𝑅) se tiene entonces que ‖�⃗� − 𝑋 ‖ < 𝑅 Por lo tanto ‖𝑋 − 𝑋 0‖ = ‖𝑋 − �⃗� + �⃗� − 𝑋 0‖ ≤ ‖𝑋 − �⃗� ‖ + ‖�⃗� − 𝑋 0‖ < 𝑅 + ‖�⃗� − 𝑋 0‖ ‖𝑋 − 𝑋 0‖ < 𝑅 + ‖�⃗� − 𝑋 0‖ Por lo tanto ‖𝑋 − 𝑋 0‖ − 𝑅 < ‖�⃗� − 𝑋 0‖ es decir 𝑟 < ‖�⃗� − 𝑋 0‖ Lo que significa �⃗� ∉ 𝐵(𝑋 0, 𝑟), es decir �⃗� 𝜀 ℝ𝑛 − 𝐵(𝑋 0, 𝑅) Proposición Toda esfera en ℝ𝑛 es un conjunto cerrado Demostración Sea 𝑋 0 𝜀 ℝ𝑛 y 𝑟 ≥ 0. Demostraremos que la esfera 𝑆(𝑋 0, 𝑟) que es un conjunto cerrado, mostrando que su complemento ℝ𝑛 − 𝑆(𝑋 0, 𝑟) es un conjunto abierto. Sea pues 𝑋 𝜀 ℝ𝑛 − 𝑆(𝑋 0, 𝑟), se mostrará que: ∃ 𝐵(𝑋 , 𝑅) ⊂ ℝ𝑛 − 𝑆(𝑋 0, 𝑟) Como 𝑋 ∉ 𝑆(𝑋 0, 𝑟) se tiene entonces que ‖𝑋 − 𝑋 0‖ ≠ 𝑟, por lo que tendremos que analizar dos casos i) ‖𝑋 − 𝑋 0‖ < 𝑟 ii) ‖𝑋 − 𝑋 0‖ > 𝑟 Demostración de i). 𝑋 0 𝑟 𝑋 ⃗⃗ ⃗ 𝑅 31 Como 𝑋 𝜀 𝐵(𝑋 0, 𝑟) y esta bola es un conjunto abierto, entonces existe una bola abierta 𝐵(𝑋 , 𝑅) ⊂ 𝐵(𝑋 , 𝑟) Así que ∀ 𝑍 𝜀 𝐵(𝑋 0, 𝑅) se cumple ‖𝑍 − 𝑋 ‖ < 𝑟 Luego 𝑍 no puede ser elemento de la esfera 𝑆(𝑋 0, 𝑟), es decir 𝑍 𝜀 ℝ𝑛 − 𝑆(𝑋 0, 𝑟) Demostración de ii). La desigualdad ‖𝑋 − 𝑋 0‖ > 𝑟 significa que 𝑋 está en el complemento de la bola cerrada 𝐵(𝑋 0, 𝑟) y como esta bola es un conjunto cerrado, entonces su complemento es abierto. Por lo tanto ∃ 𝐵(𝑋 0, 𝑅) ⊂ ℝ 𝑛 − 𝐵(𝑋 0, 𝑟) Los elementos 𝑍 𝜀 𝐵(𝑋 0, 𝑅) no están en la bola cerrada 𝐵(𝑋 0, 𝑟), es decir elemento 𝑍 𝜀 𝐵(𝑋 0, 𝑅) satisface ‖𝑍 − 𝑋 ‖ > 𝑟 Lo que significa 𝐵(𝑋 , 𝑅) ⊂ ℝ𝑛 − 𝑆(𝑋 0, 𝑟) Definición. Un elemento 𝑋 𝜀 𝐴 se dice que es un punto interior de 𝐴, si existe una bola abierta con centro en 𝑋 contenida en 𝐴, es decir ∃ 𝑟 > 0 ∶ 𝐵(𝑋 , 𝑟) ⊂ 𝐴. Al conjunto de puntos interiores de 𝐴 se le denomina interior del conjunto 𝐴 y se le denota con el símbolo Å , 𝐴𝑜, 𝑖𝑛𝑡 (𝐴) Definición Dado un conjunto 𝐷 ⊂ ℝ𝑛 se define el interior de 𝐷, y se denota como 𝐼𝑛𝑡 (𝐷), al mayor conjunto abierto contenido en 𝐷. Definición. Un elemento 𝑋 𝜀 ℝ𝑛 se dice que es un punto exterior de 𝐴, si existe una bola abierta con centro en 𝑋 contenida en 𝐴𝐶, es decir si ∃ 𝑟 > 0 ∶ 𝐵(𝑋 , 𝑟) ⊂ 𝐴𝐶 Al conjunto de puntos exteriores de 𝐴 se le denomina exterior del conjunto 𝐴 y se le denota con 𝑒𝑥𝑡(𝐴). Definición. Un elemento 𝑋 𝜀 ℝ𝑛 se dice que es un punto frontera de 𝐴, si para toda bola abierta con centro en 𝑋 se tiene ∀ 𝑟 > 0, 𝐵(𝑋 , 𝑟) ∩ 𝐴𝐶 ≠ 𝜙 y 𝐵(𝑋 , 𝑟) ∩ 𝐴 ≠ 𝜙 Al conjunto de puntos frontera de 𝐴 se le denomina frontera del conjunto 𝐴 y se le denota con 𝐹𝑟(𝐴). 32 Definición Dado un conjunto 𝐷 ⊂ ℝ𝑛 se define la frontera de 𝐷, y se denota como 𝐹𝑟(𝐷), y se define como 𝐹𝑟(𝐷) = 𝐶𝑙(𝐷) − 𝐼𝑛𝑡 (𝐷) Definición. Un elemento 𝑋 𝜀 ℝ𝑛 se dice que es un punto adherente de 𝐴, si toda bola abierta con centro en 𝑋 tiene puntos de 𝐴 Al conjunto de puntos adherentes de 𝐴 se le denomina adherencia o cerradura o clausura del conjunto 𝐴 y se le denota con cualquiera de los símbolos 𝐴 , 𝐴−, 𝑎𝑑ℎ (𝐴). Definición Dado un conjunto 𝐷 ⊂ ℝ𝑛 se define la clausura de 𝐷, y se denota como 𝐶𝑙(𝐷), y es el menor conjunto cerrado que contiene a 𝐷. Proposición. Para todo subconjunto 𝐴 de ℝ𝑛, el Å es un conjunto abierto Demostración Sea 𝑋 𝜀 Å. Por definición ∃ 𝐵(𝑋 , 𝑟) ⊂ 𝐴. Como la bola es un conjunto abierto entonces 𝐵(𝑋 , 𝑟) ⊂ Å ∴ Å es un conjunto abierto Proposición Para todo subconjunto 𝐴 de ℝ𝑛, 𝐴 es un conjunto cerrado Demostración Se mostrará que (𝐴) 𝐶 es un conjunto abierto Sea 𝑋 𝜀 (𝐴) 𝐶 , como 𝑋 no es un punto adherente de 𝐴, existe un 𝑟 > 0 tal que: 𝐵(𝑋 , 𝑟) ∩ 𝐴 = 𝜙 es decir 𝐴 ⊂ [𝐵(𝑋 , 𝑟)] 𝐶 Como [𝐵(𝑋 , 𝑟)] 𝐶 es un conjunto cerrado, entonces 𝐴 ⊂ [𝐵(𝑋 , 𝑟)] 𝐶 ∴ 𝐴 es un conjunto cerrado Proposición Para todo subconjunto 𝐴 de ℝ𝑛, 𝐹𝑟 (𝐴) es un conjunto cerrado Demostración Se mostrará que [𝐹𝑟 (𝐴)]𝐶 es un conjunto abierto Si 𝑋 ∉ 𝐹𝑟 (𝐴) entonces 𝑋 𝜀 Å o 𝑋 𝜀 𝐸𝑥𝑡 (𝐴), en ambos casos existe un 𝑟 > 0 tal que: 33 𝐵(𝑋 , 𝑟) ⊂ 𝑖𝑛𝑡(𝐴) o 𝐵(𝑋 , 𝑟) ⊂ 𝑒𝑥𝑡(𝐴) Lo que implica que [𝐹𝑟 (𝐴)]𝐶 es un conjunto abierto ∴ 𝐹𝑟 (𝐴) es un conjunto cerrado Definición Un conjunto 𝐴 ⊂ ℝ𝑛 se dice acotado si y sólo si existe un número real positivo 𝑘 tal que ‖𝑋 ‖ ≤ 𝑘 , ∀ 𝑋 𝜀 𝐴 A la clausura del conjunto 𝐷, se denota como 𝐶𝑙(𝐷), y es el menor conjunto cerrado que contiene a 𝐷. Definición Un conjunto 𝐴 ⊂ ℝ𝑛 se dice compacto si y sólo si además de ser acotado es cerrado. Definición Dado un conjunto 𝐴 ⊂ ℝ𝑛 y un punto 𝑋 𝜀 ℝ𝑛, se dice que 𝑋 es un punto de acumulación de 𝐴, si para todo número 𝑟 > 0 se tiene que 𝐵(𝑋 , 𝑟) ∩ 𝐴 − {𝑋 ] ≠ 𝜙. o 𝐵∗(𝑋 , 𝑟) ∩ 𝐴 ≠ 𝜙 Nota. El conjunto de los puntos de acumulación se denota con 𝐴′ Se dirá que 𝑋 es un punto aislado de 𝐴 si y sólo si es un punto 𝐶𝑙(𝐴) que no es de acumulación. Funciones reales de varias variables Sea 𝑋 ⊂ ℝ𝑛. Una función real en varias variables es una aplicación 𝐹: 𝑋 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ𝑚/𝐹(𝑋 ) = (𝑓1(𝑋 ), … , 𝑓𝑚(𝑋 )) donde 𝑋 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) y 𝑓𝑖(𝑋 ) = 𝑦𝑖 , ∀ 𝑖 = 1,2,… ,𝑚 son funciones reales en varias variables llamadas funciones coordenadas, es decir: 𝑓𝑖: 𝑋 ⊂ ℝ 𝑛 → ℝ / 𝑓𝑖(𝑋 ) = 𝑦𝑖 Por lo tanto: 𝐹(𝑥1, … , 𝑥𝑛) = (𝑓1(𝑥1, … , 𝑥𝑛), … , 𝑓𝑚(𝑥1, … , 𝑥𝑛)) Definición Se llama dominio de la función 𝐹 al conjunto 𝐷(𝐹) = {𝑋 𝜀 ℝ𝑛: ∃ 𝐹(𝑋 ) 𝜀 ℝ𝑚} = 𝐷 (𝑓1(𝑋 )) ∩ 𝐷 (𝑓2(𝑋 )) ∩ …∩ 𝐷 (𝑓𝑚(𝑋 )) = 𝐷𝑓1(𝑋 ) ∩ 𝐷𝑓2(𝑋 ) ∩ …∩ 𝐷𝑓𝑚(𝑋 ) donde 𝑋 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛). 34 Definición. Dada una función 𝐹: ℝ𝑛 → ℝ𝑚 ∶ 𝑓(𝑋 ) = 𝜔, se llama grafo de 𝐹 al conjunto de puntos 𝐺𝑟𝑎𝑓(𝐹) = 𝐺(𝐹) = {(𝑥1, … , 𝑥𝑛 , 𝜔) 𝜀 ℝ 𝑛+𝑚: 𝜔 = 𝑓(𝑋 )} Definición. Dada una función 𝑓: ℝ𝑛 → ℝ ∶ 𝑓(𝑋 ) = 𝜔, se llama grafo de 𝑓 al conjunto de puntos 𝐺𝑟𝑎𝑓(𝑓) = 𝐺(𝑓) = {(𝑥1, … , 𝑥𝑛 , 𝜔) 𝜀 ℝ 𝑛+1: 𝜔 = 𝑓(𝑋 )} Ejemplo. En ℝ2 Dada una función 𝑓: 𝐴 ⊂ ℝ2 → ℝ ∶ 𝑓(𝑋 ) = 𝑧, se llama grafo de 𝑓 al conjunto de puntos 𝐺𝑟𝑎𝑓(𝑓) = 𝐺(𝑓) = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝜀 ℝ3: 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)}= {(𝑥, 𝑦, 𝑓(𝑥, 𝑦)) 𝜀 ℝ3: 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)} Definición Dada una función 𝑓: ℝ2 → ℝ ∶ 𝑓(𝑋 ) = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑧, y dada una constante 𝑐 se define la curva de nivel 𝑐 de la superficie 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) como el conjunto de puntos 𝒞𝑐 = {(𝑥, 𝑦) 𝜀 ℝ 2: 𝑓(𝑋 ) = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑐} Análogamente Definición Dada una función 𝑓: ℝ3 → ℝ ∶ 𝑓(𝑋 ) = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝜔, y dada una constante 𝑐 se define la superficie de nivel 𝑐 como el conjunto de puntos 𝒮𝑐 = {(𝑥, 𝑦, 𝑦) 𝜀 ℝ 3: 𝑓(𝑋 ) = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑐} Definición Una sucesión en ℝ𝑛 es cualquier lista infinita de vectores en ℝ𝑛. Es decir 𝑋1⃗⃗⃗⃗ , 𝑋2⃗⃗⃗⃗ , … , 𝑋𝑛⃗⃗ ⃗⃗ , … algunos de los cuales o todos ellos pueden coincidir entre si. Por lo que ℝ2 ℝ3 𝑌 𝑋 𝑍 𝐺𝑟𝑎𝑓 (𝐹) 𝐴 35 Llamamos sucesión en ℝ𝑛 a una aplicación 𝑋 : ℕ ⊂ ℝ → ℝ𝑛 es decir, a una función con dominio en los números naturales ℕ = {1,2,… } y recorrido en ℝ𝑛, la que se puede escribir como 𝑋 = (𝑋 𝑘) = {𝑋 𝑘} = (𝑋 𝑘)𝑘𝜀ℕ = (𝑋 𝑘)𝑘=1 ∞ = (𝑥1, 𝑥2, … ) Donde 𝑋 𝑘 = 𝑋 (𝑘) es el valor de la sucesión en el 𝑘 − é𝑠𝑖𝑚𝑜 natural y se escribe 𝑋 𝑘 = (𝑋 1𝑘, 𝑋 2𝑘, … , 𝑋 𝑛𝑘) = (𝑋 𝑘1, 𝑋 𝑘2, … , 𝑋 𝑘𝑛) cuando indicamos las coordenadas de 𝑥𝑘 Dada una sucesión 𝑋 en ℝ𝑛, tenemos 𝑛 sucesiones en ℝ que llaman sucesiones coordenadas o sucesiones componentes o sucesiones proyección que son (𝑋 1𝑘)𝑘𝜀ℕ, (𝑋 2𝑘)𝑘𝜀ℕ, … , (𝑋 𝑛𝑘)𝑘𝜀ℕ obtenidas al tomar las coordenadas del vector 𝑥𝑘. Recíprocamente, dadas 𝑛 sucesiones de números reales podemos construir una sucesión en ℝ𝑛 tomando como 𝑘 − é𝑠𝑖𝑚𝑜 elemento de la sucesión el vector cuyas coordenadas son los 𝑘 − é𝑠𝑖𝑚𝑜𝑠 elementos de las sucesiones reales. Ejemplo Considerando el espacio ℝ3, sea la sucesión (𝑋 𝑘)𝑘=1 ∞ dada por 𝑋 𝑘 = ((1 + 1 𝑘 ) 𝑘 , √𝑘 𝑘 , √ 1 𝑘 𝑘 ) cuyos elementos son {(2, 1, 1), ( 9 4 , √2 2 , √ 1 2 2 ) ,( 64 27 , √3 3 , √ 1 3 3 ) ,…} Sus sucesiones componentes o sucesiones proyección son: 𝑋 1𝑘 = (1 + 1 𝑘 ) 𝑘 , 𝑋 2𝑘 = √𝑘 𝑘 , 𝑋 3𝑘 = √ 1 𝑘 𝑘 Definición Dada 𝑓: ℝ𝑛 → ℝ𝑚 ∶ 𝑓(𝑋 ) = (𝑓1(𝑋 ), … , 𝑓𝑚(𝑋 )), y sean 𝑋 𝜀 ℝ𝑛, �⃗� 𝜀 ℝ𝑚, entonces se dice que lim �⃗� →𝐴 𝑓(𝑋 ) = �⃗� ⇔ ∀𝜀 > 0, ∃𝛿(𝜀) > 0 tal que si 0 < 𝑑(𝑋 , 𝐴 ) < 𝛿 ⇒ 𝑑(𝑓(𝑋 ), �⃗� ) < 𝜀 o 36 lim �⃗� →𝐴 𝑓(𝑋 ) = �⃗� ⇔ ∀𝜀 > 0, ∃𝛿(𝜀) > 0 tal que si 0 < ‖𝑋 − 𝐴 ‖ < 𝛿 ⇒ ‖𝑓(𝑋 ) − �⃗� ‖ < 𝜀 Definición Dada 𝑓: ℝ𝑛 → ℝ𝑚 ∶ 𝑓(𝑋 ) = (𝑓1(𝑋 ), … , 𝑓𝑚(𝑋 )), y sea {𝑋 𝑘}1 ∞ una sucesión en ℝ𝑛, se dice que la sucesión converge a un vector �⃗� 𝜀 ℝ𝑛, si ∀𝜀 > 0, ∃ 𝑁0 𝜀 ℕ tal que: 0 < ‖𝑋 𝑘 − 𝑋 ‖ < 𝜀 , ∀ 𝑘 > 𝑁0 En este caso diremos que la sucesión es convergente y que �⃗� es el límite de la sucesión y se escribe lim �⃗� →∞ 𝑋 𝑘 = �⃗� Teorema de Sándwich para funciones 𝒇: ℝ𝒏 → ℝ Sean 𝑓, 𝑔, ℎ: ℝ𝑛 → ℝ tales que: 𝑓(𝑋 ) ≤ 𝑔(𝑋 ) ≤ ℎ(𝑋 ), ∀ 𝑋 𝜀 𝐵(𝐴 , 𝑟) ∩ 𝐷(𝑓) ∩ 𝐷(𝑔) ∩ 𝐷(ℎ) Siendo 𝐵(𝐴 , 𝑟) = {𝑋 𝜀 ℝ𝑛: 𝑑(𝑋 , 𝐴 ) < 𝑟} lim �⃗� →𝐴 𝑓(𝑋 ) = lim �⃗� →𝐴 ℎ(𝑋 ) = ℓ ⇒ lim �⃗� →𝐴 𝑔(𝑋 ) = ℓ Límite por sucesiones para funciones 𝒇: ℝ𝒏 → ℝ Sean 𝑓: ℝ𝑛 → ℝ y 𝐴 𝜀 ℝ𝒏 entonces lim �⃗� →𝐴 𝑓(𝑋 ) = ℓ ⇔ ∀ 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑖ó𝑛 {𝑋 𝑛} tal que ⇒ lim 𝑛→∞ 𝑓(𝑋 𝑛) = ℓ Nota. 1. Asumamos que existen sucesiones {𝑋 𝑛}, {�⃗� 𝑛} que converjan a 𝐴 es decir lim 𝑛 →∞ 𝑋 𝑛 = lim 𝑛 →∞ �⃗� 𝑛 = 𝐴 y que lim 𝑛→∞ 𝑓(𝑋 𝑛) = ℓ y lim 𝑛→∞ 𝑓(�⃗� 𝑛) = ℓ′ siendo ℓ ≠ ℓ′. Entonces ∄ lim �⃗� →𝐴 𝑓(𝑋 ) 2. Si lim 𝑛 →∞ 𝑋 𝑛 = 𝐴 y ∄ lim 𝑛→∞ 𝑓(𝑋 𝑛) ⇒ ∄ lim �⃗� →𝐴 𝑓(𝑋 ) 3. Si encontramos dos caminos 𝑥2 = 𝜑1(𝑥1) y 𝑥2 = 𝜑2(𝑥1) que pasa por 𝐴 y tales que lim �⃗� →𝐴 𝑥2=𝜑1(𝑥1) 𝑓(𝑋 ) = ℓ1 y lim �⃗� →𝐴 𝑥2=𝜑2(𝑥1) 𝑓(𝑋 ) = ℓ2 con ℓ1 ≠ ℓ2 ⇒ ∄ lim �⃗� →𝐴 𝑓(𝑋 ) 37 Funciones continuas en un punto Sea un punto del dominio de definición de una función. La idea intuitiva de función continua en este punto, es la de una función que a pequeñas variaciones de la variable corresponden variaciones arbitrariamente pequeñas de la función. Si la función está definida en 𝐷 y el punto considerado es aislado en 𝐷 no existe de hecho pequeñas variaciones de la variable y la función siempre se considera continua en estos puntos. El concepto es significativo cuando el punto es de acumulación de 𝐷. En este caso equivale a decir que el límite coincide con el valor de la función en el punto. Definición Sea 𝑓: ℝ𝑛 → ℝ y 𝐴 𝜀 ℝ𝒏 . Entonces se dice que 𝑓 es continua en 𝐴 si ∀ 𝜀 > 0 , ∃ 𝛿(𝜀) > 0 tal que si 0 < 𝑑(𝑋 , 𝐴 ) < 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑋 ) − 𝑓(𝐴 )| < 𝜀 Nota. 1. 𝑓 es continua en 𝐴 𝜀 ℝ𝒏 si lim �⃗� →𝐴 𝑓(𝑋 ) = 𝑓(𝐴 ). Esto supone que: a) ∃ 𝑓(𝐴 ) es decir 𝐴 𝜀 𝐷(𝑓) b) ∃ lim �⃗� →𝐴 𝑓(𝑋 ) = 𝑓(𝐴 ) Definición Sea 𝐹: ℝ𝑛 → ℝ𝑚 ∶ 𝐹(𝑋 ) = (𝑓1(𝑋 ),… , 𝑓𝑚(𝑋 )), se dice que 𝐹 es continua en 𝐴 𝜀 ℝ𝒏 si 𝑓𝑖 es continua en 𝐴 𝜀 ℝ𝑛 para todo 𝑖 = 1,2,3, … ,𝑚 Definición Sea 𝐹: 𝐴 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ𝑚 ∶ 𝐹(𝑋 ) = (𝑓1(𝑋 ),… , 𝑓𝑚(𝑋 )), se dice que 𝐹 es continua en 𝐴 𝜀 𝐴 ⊂ ℝ𝒏 si ∀ 𝜀 > 0, existe 𝛿(𝜀) > 0 tal que ∀ 𝑋 𝜀 𝐴 que cumple ‖𝑋 − 𝐴 ‖ < 𝛿 entonces ‖𝐹(𝑋 ) − 𝐹(𝐴 )‖ < 𝜀 Enunciaremos y demostraremos un teorema que sirva para caracterizar a los conjuntos abiertos y cerrados. Teorema. Sea 𝐹: 𝐴 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ𝑚 ∶ 𝐹(𝑋 ) = (𝑓1(𝑋 ),… , 𝑓𝑚(𝑋 )), Las tres afirmaciones siguientes son equivalentes 1. 𝐹 es continua 2. ∀ 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 𝑉 ⊂ ℝ𝑚 , 𝐹−1(𝑉) = 𝐴 ∩ 𝑈 donde 𝑈 es un abierto de ℝ𝑛 3. ∀ 𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑇 ⊂ ℝ𝑚 , 𝐹−1(𝑇) = 𝐴 ∩ 𝑆 donde 𝑆 es un cerrado de ℝ𝑛 38 Demostración Analicemos que (𝟏 ⇒ 𝟐) Sea 𝑉 es abierto de ℝ𝑚 y 𝑎 un punto de 𝐹−1(𝑉). Sea 𝐹(𝑎) = 𝑏, como 𝑉 es abierto existe 𝐵(𝑏, 𝜀) ⊂ 𝑉. Por ser 𝐹 continua en 𝐴, ∃ / 𝐹(𝐵(𝑎, 𝛿𝑎) ∩ 𝐴 ) ⊂ 𝐵(𝑏, 𝜀) de lo cual se deduce que 𝐵(𝑎, 𝛿𝑎) ∩ 𝐴 ⊂ 𝐹−1(𝐹(𝐵(𝑎, 𝛿𝑎) ∩ 𝐴 )) ⊂ 𝐹 −1(𝐵(𝑏, 𝜀) ) ⊂ 𝐹−1(𝑉) y esto implica que 𝐹−1(𝑉) = ⋃ [𝐵(𝑎, 𝛿𝑎) ∩ 𝐴] 𝑎𝜀𝐹−1(𝑉) = [ ⋃ 𝐵(𝑎, 𝛿𝑎) 𝑎𝜀𝐹−1(𝑉) ] ∩ 𝐴 = 𝑈 ∩ 𝐴 donde 𝑈 es un abierto de ℝ𝑛, donde se ha tenido en cuenta que la unión de abiertos es un abierto Analicemos que (𝟐 ⇒ 𝟏) Sea 𝑎 un punto de 𝐹−1(𝑉) y 𝐹(𝑎) = 𝑏, veamos que 𝐹 es continua en 𝑎. Sean 𝜀 > 0 y 𝐵(𝑏, 𝜀) la bola abierta en ℝ𝑚 . Por hipótesis 𝐹−1(𝐵(𝑏, 𝜀) ) = 𝑈 ∩ 𝐴 con 𝑈 abierto en ℝ𝑛. Como 𝑎 𝜀 𝑈 ∩ 𝐴 y 𝑈 es abierto∃ 𝛿 > 0 tal que 𝐵(𝑎, 𝛿) ∩ 𝐴 ⊂ 𝑈 ∩ 𝐴 = 𝐹−1(𝐵(𝑏, 𝜀) ) Luego 𝐹(𝐵(𝑎, 𝛿𝑎) ∩ 𝐴 ) ⊂ 𝐵(𝑏, 𝜀) Lo que implica de 𝐹 es continua en 𝑎 Analicemos que (𝟐 ⇒ 𝟑) 𝑇 cerrado implica que ℝ𝑚 − 𝑇 es abierto. Luego por 2 se tiene 𝐹−1(ℝ𝑚 − 𝑇 ) = 𝑈 ∩ 𝐴 donde 𝑈 es un abierto en ℝ𝑛. Por tanto 𝐹−1(𝑇) = (ℝ𝑛 − 𝑈) ∩ 𝐴 y ℝ𝑛 − 𝑈 es un cerrado de ℝ𝑛 Analicemos que (𝟑 ⇒ 𝟐) 𝑉 abierto implica que ℝ𝑚 − 𝑉 es cerrado. Luego por 3 se tiene 𝐹−1(ℝ𝑛 − 𝑉 ) = 𝑆 ∩ 𝐴 donde 𝑆 es un cerrado en ℝ𝑛. Por tanto 𝐹−1(𝑉) = (ℝ𝑛 − 𝑆) ∩ 𝐴 y ℝ𝑛 − 𝑆 es un cerrado de ℝ𝑛 Nota 1. Se dice que 𝑓 es continua en una región 𝐴 ⊂ ℝ𝑛 si lo es en todo punto 𝐴 𝜀 𝐴. Teorema Sea 𝐹: ℝ𝑛 → ℝ𝑚: 𝐹(𝑋 ) = (𝑓1(𝑋 ),… , 𝑓𝑚(𝑋 )) continua en 𝐴 𝜀 ℝ𝒏 y sea 𝐺: ℝ𝑚 → ℝ𝑘 ∶ 𝐺(𝑋 ) = (𝑔1(𝑋 ),… , 𝑔𝑘(𝑋 )) continua en 𝑓(𝐴 ), entonces (𝐺𝑜𝐹): ℝ𝑛 → ℝ𝑘 es continua en 𝐴 . 39 Teorema Sea 𝑓: ℝ𝑛 → ℝ / 𝑓(𝑋 ) = 𝜔 y 𝐴 𝜀 ℝ𝒏. Entonces 𝑓 es continua en 𝐴 ⇔ ∀ 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑖ó𝑛 {𝑋 𝑛} tal que lim 𝑛 →∞ 𝑋 𝑛 = 𝐴 se verifica que lim 𝑛→∞ 𝑓(𝑋 𝑛) = 𝑓(𝐴 ). Ahora vamos a investigar las propiedades intrínsecas cualitativas de ciertos tipos de conjuntos que en lo sucesivo le llamaremos espacio, por lo que es necesario estudiar el tipo de estructura que tienen estos conjuntos para que, matemáticamente hacer rigurosa la idea de estirar sin romper. El estudio de la continuidad de las funciones en ℝ y ℝ𝑛, hacen que surja la noción de espacio topológico, en este sentido, la idea de espacio topológico se introduce para rescatar la esencia de la definición de continuidad y de esta manera considerar objetos donde la definición tiene sentido, notar también que la definición de continuidad se puede extender fácilmente a ℝ𝑛 asumiendo que tenemos una definición de abierto. Veamos esto para funciones continuas de ℝ en ℝ, para considerar el proceso de estirar o comprimir segmentos de líneas mediante fuerzas que sean colineales con estos segmentos. Esta dilatación o comprensión la podemos visualizar en la siguiente función real de variable real La figura se puede considerar como una dilatación del segmento 𝑋0 en el segmento 𝑌0 𝑓 𝑋0 𝑌0 𝑋 𝑌 0 𝑋0 𝑌0 𝑋 𝑌 0 𝑓 𝑔 40 Análogamente la función 𝑔 comprime el segmento 𝑋0 en el conjunto 𝑌0. La dilatación o comprensión no tiene por qué producirse necesariamente de forma lineal, así por ejemplo tenemos 𝑓: [0, 𝜋 2 ] ⊂ ℝ → ℝ / 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 comprime el conjunto {𝑝 𝜀 ℝ ∶ 0 ≤ 𝑝 ≤ 1} de forma no lineal Así mismo el conjunto {𝑝 𝜀 ℝ ∶ 0 ≤ 𝑝 ≤ 𝜋 6 } se transforma en el conjunto {𝑝 𝜀 ℝ ∶ 0 ≤ 𝑝 ≤ 1 2 }, mientras que el conjunto {𝑝 𝜀 ℝ ∶ 𝜋 6 ≤ 𝑝 ≤ 𝜋 2 }, se transforma en el conjunto {𝑝 𝜀 ℝ ∶ 1 2 ≤ 𝑝 ≤ 1} Como podemos apreciar el concepto fundamental que interviene en el estudio de continuidad es el de conjunto abierto. Definición Un conjunto 𝐺 ⊂ ℝ se llama 𝒰 − 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 si y sólo si a) Si 𝐺 = 𝜙 o b) Si 𝐺 ≠ 𝜙, ∀ 𝑝 𝜀 𝐺, ∃ 𝐼 = 〈𝑎, 𝑏〉 tal que 𝑝 𝜀 𝐼 ⊂ 𝐺 Nota Si ∃ 𝑝 𝜀 𝐺, ∀ 𝐼 = 〈𝑎, 𝑏〉 tal que 𝑝 𝜀 𝐼 ⊄ 𝐺 entonces 𝐺 no es 𝒰 − 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 Ejemplo 1. Todo intervalo abierto es 𝒰 − 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 Resolución Sea 𝐺 = 〈𝑎, 𝑏〉 ≠ 𝜙, ∀ 𝑝 𝜀 𝐺, ∃ 𝐼 = 〈𝑎, 𝑏〉 tal que 𝑝 𝜀 𝐼 = 〈𝑎, 𝑏〉 ⊂ 𝐺 0 1 1 𝜋 6 𝜋 2 1 2 𝑌 𝑋 𝑓 41 2. Analizar si 𝐺 = {𝑥 𝜀 ℝ: 0 ≤ 𝑥 < 1 } = ⌈0,1 > es un conjunto 𝒰 − 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜. Resolución ∃ 𝑝 = 0 𝜀 𝐺, ∀ 𝐼 = 〈− 1 2 , 1〉 tal que 0 𝜀 𝐼 ⊄ 𝐺 Por lo tanto 𝐺 no es un conjunto 𝒰 − 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 3. Analizar si 𝐺 = {𝑥 𝜀 ℝ: 𝑥 > 0 } = 〈𝑥,∞〉, con 𝑥 fijo, es un conjunto 𝒰 − 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜. Resolución ∀ 𝑝 𝜀 𝐺 = 〈𝑥,∞〉 → 𝑝 > 𝑥 → 𝑝 − 𝑥 > 0 → 𝑟 = 𝑝 − 𝑥 > 0 → 𝑟 > 0 Entonces ∃ 𝐼 = 〈𝑝 − 𝑟, 𝑝 + 𝑟〉 ⊂ 𝐺 → 𝐼 ⊂ 𝐺 Comprobemos que 𝐼 ⊂ 𝐺. En efecto [ ∀ 𝑧 𝜀 𝐼 → 𝑝 − 𝑟 < 𝑧 < 𝑝 + 𝑟 → 𝑥 = 𝑝 − 𝑟 < 𝑧 → 𝑥 < 𝑧 → 𝑧 > 𝑥 → 𝑧 𝜀 〈𝑥,∞〉 ∴ 𝐼 ⊂ 𝐺 ] Luego ∀ 𝑝 𝜀 𝐺, ∃ 𝐼 tal que 𝑝 𝜀 𝐼 ⊂ 𝐺, lo que concluye que el conjunto 〈𝑥,∞〉 es 𝒰 − 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜. Definición Sea 𝑓: 𝐴 ⊂ 𝑋 = ℝ → 𝐵 ⊂ 𝑌 = ℝ / 𝑦 = 𝑓(𝑥), la imagen directa de 𝐴 según 𝑓 se representa por 𝑓(𝐴) y se define como el conjunto: 𝑓(𝐴) = {𝑓(𝑥) ∶ 𝑥 𝜀 𝐴 } Propiedades Sea 𝑓: 𝐴 ⊂ ℝ → 𝐵 ⊂ ℝ / 𝑦 = 𝑓(𝑥),donde los conjuntos 𝐶 y 𝐷 son subconjuntos del conjunto 𝐴 ⊂ ℝ entonces se cumple que: 1. Si 𝐶 ⊂ 𝐷 entonces 𝑓(𝐶) ⊂ 𝑓(𝐷) 2. 𝑓(𝐶 ∪ 𝐷 ) = 𝑓(𝐶 ) ∪ 𝑓(𝐷) 3. 𝑓(𝐶 ∩ 𝐷 ) = 𝑓(𝐶 ) ∩ 𝑓(𝐷) Demostración de 1. Sea 𝑧 𝜀 𝑓(𝐶) ⇒ ∃ 𝑥 𝜀 𝐶 tal que 𝑓(𝑥) = 𝑧 como 𝐶 ⊂ 𝐷 𝑥 ∞ 𝑝 〈 〉 𝑝 + 𝑟 𝑝 − 𝑟 𝐼 ⏟ 𝐺 ⏟ 𝑟 𝑟 𝐴 𝑓(𝐴) 𝑓 42 ⇒ ∃ 𝑥 𝜀 𝐷 tal que 𝑓(𝑥) = 𝑧 ⇒ 𝑧 𝜀 𝑓(𝐷) ∴ 𝑓(𝐶) ⊂ 𝑓(𝐷) Demostración de 2. Sea 𝑧 𝜀 𝑓(𝐶 ∪ 𝐷) ⇒ ∃ 𝑥 𝜀 (𝐶 ∪ 𝐷) tal que 𝑓(𝑥) = 𝑧 ⇒ ∃ 𝑥 𝜀 𝐶 ó 𝑥 𝜀 𝐷 tal que 𝑓(𝑥) = 𝑧 ⇒ ∃ 𝑥 𝜀 𝐷 𝑦 𝑓(𝑥) = 𝑧 ó 𝑥 𝜀 𝐶 y 𝑓(𝑥) = 𝑧 ∴ 𝑧 𝜀 𝑓(𝐷) ó 𝑧 𝜀 𝑓(𝐶) ⇒ 𝑧 𝜀 (𝑓(𝐷) ∪ 𝑓(𝐶)) ∴ 𝑓(𝐶 ∪ 𝐷 ) ⊂ 𝑓(𝐶 ) ∪ 𝑓(𝐷) Así mismo 𝐶 ⊂ (𝐶 ∪ 𝐷) ⇒ 𝑓(𝐶) ⊂ 𝑓(𝐶 ∪ 𝐷) 𝐷 ⊂ (𝐶 ∪ 𝐷) ⇒ 𝑓(𝐷) ⊂ 𝑓(𝐶 ∪ 𝐷) ⇒ 𝑓(𝐶) ∪ 𝑓(𝐷) ⊂ 𝑓(𝐶 ∪ 𝐷) Luego 𝑓(𝐶 ∪ 𝐷 ) ⊂ 𝑓(𝐶 ) ∪ 𝑓(𝐷) Demostración de 3. Sea 𝑧 𝜀 𝑓(𝐶 ∩ 𝐷) ⇒ ∃ 𝑥 𝜀 (𝐶 ∩ 𝐷) tal que 𝑓(𝑥) = 𝑧 ⇒ ∃ 𝑥 𝜀 𝐷 𝑦 𝑥 𝜀 𝐶 tal que 𝑓(𝑥) = 𝑧 ⇒ ∃ 𝑥 𝜀 𝐷 𝑦 tal que 𝑓(𝑥) = 𝑧 y 𝑥 𝜀 𝐷 𝑦 tal que 𝑓(𝑥) = 𝑧 ∴ 𝑧 𝜀 𝑓(𝐷) 𝑦 𝑧 𝜀 𝑓(𝐶) ⇒ 𝑧 𝜀 (𝑓(𝐶) ∩ 𝑓(𝐷)) ∴ 𝑓(𝐶 ∩ 𝐷 ) = 𝑓(𝐶 ) ∩ 𝑓(𝐷) Definición Sea 𝑓: 𝐴 ⊂ ℝ → 𝐵 ⊂ ℝ / 𝑦 = 𝑓(𝑥), la imagen inversa de 𝐵 según 𝑓 se representa por 𝑓−1(𝐵) y se define como el conjunto: 𝑓−1(𝐵) ={𝑥 𝜀 𝐴 ∶ 𝑓(𝑥) 𝜀 𝐵 } o 𝑓−1(𝐵) = {𝑥 𝜀 𝐴 ⊂ ℝ ∶ ∃ 𝑦 𝜀 𝐵 ⊂ ℝ , 𝑓(𝑥) = 𝑦 } Las siguientes afirmaciones son claras 𝑥 𝜀 𝑓−1(𝐵) → 𝑓(𝑥) 𝜀 𝐵 𝑓(𝑥) 𝜀 𝐵 → 𝑥 𝜀 𝑓−1(𝐵) Gráficamente Sea 𝑓: 𝐴 ⊂ ℝ → 𝐵 ⊂ ℝ / 𝑦 = 𝑓(𝑥), 43 Ejemplo 1. Sea 𝑓: ℝ → [4,9] ⊂ ℝ / 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥2, hallar las pre imágenes de los subconjuntos del codominio [4,9] Resolución Para el conjunto [4,9] se tiene que 𝑓−1([4,9]) = {𝑥 𝜀 ℝ ∶ 𝑓(𝑥) 𝜀 [4,9]} Esto implica que 𝑓(𝑥) 𝜀 [4,9] ⇔ 𝑥2 𝜀 [4,9] ⇔ 4 ≤ 𝑥2 ≤ 9 ⇔ √4 ≤ √𝑥2 ≤ √9 ⇔ 2 ≤ |𝑥| ≤ 3 ⇔ 2 ≤ 𝑥 ≤ 3 ó 2 ≤ −𝑥 ≤ 3 ⇔ 𝑥 𝜀 [2,3] ó 𝑥 𝜀 [−3, −2] Por lo tanto 𝑓−1([4,9]) = [−3,−2] ∪ [2,3] 2. Sea 𝑓: ℝ → ℝ / 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥2, hallar las pre imágenes de los subconjuntos del codominio < −∞,−1⌉,< −1,1⌉ y 〈−𝟏,𝟏〉 Resolución Para el conjunto < −∞,−1⌉ se tiene que 𝑓−1(< −∞,−1⌉ ) = {𝑥 𝜀 ℝ ∶ 𝑓(𝑥) 𝜀 < −∞,−1⌉} Esto implica que 𝑓(𝑥) 𝜀 < −∞,−1⌉ ⇔ 𝑥2 𝜀 < −∞,−1⌉,⇔ 𝑥2 ≤ −1 ⇔ 𝑥 𝜀 𝜙 Por lo tanto 𝑓−1(< −∞,−1⌉) = 𝜙 Para el conjunto < −1,1⌉ se tiene que 𝑓−1(< −1,1⌉ ) = {𝑥 𝜀 ℝ ∶ 𝑓(𝑥) 𝜀 < −1,1⌉} Esto implica que 𝐵 𝑓−1(𝐵) 𝑓−1(𝐵) 𝑓−1(𝐵) 𝑓 𝑌 𝑋 0 44 𝑓(𝑥) 𝜀 < −1,1⌉ ⇔ 𝑥2 𝜀 < −1,1⌉ ⇔ −1 ≤ 𝑥2 ≤ 1 ⇔ 0 ≤ 𝑥2 ≤ 1 ⇔ |𝑥| ≤ 1 ⇔ −1 ≤ 𝑥 ≤ 1 ⇔ 𝑥 𝜀 [−1,1] Por lo tanto 𝑓−1(< −1,1⌉) = [−1,1] Para el conjunto 〈−1,1〉 se tiene que 𝑓−1(〈−1,1〉 ) = {𝑥 𝜀 ℝ ∶ 𝑓(𝑥) 𝜀 〈−1,1〉} Esto implica que 𝑓(𝑥) 𝜀 〈−1,1〉 ⇔ 𝑥2 𝜀 〈−1,1〉 ⇔ −1 < 𝑥2 < 1 ⇔ 0 < 𝑥2 < 1 ⇔ |𝑥| < 1 ⇔ −1 < 𝑥 < 1 ⇔ 𝑥 𝜀 〈−1,1〉 Por lo tanto 𝑓−1(〈−1,1〉) = 〈−1,1〉 Propiedades Sea 𝑓: 𝑋 ⊂ ℝ → 𝑌 ⊂ ℝ / 𝑦 = 𝑓(𝑥), donde 𝐴 ⊂ 𝑌, 𝐵 ⊂ 𝑌 entonces se cumple que: 1. 𝑓−1(𝐴 ∪ 𝐵 ) = 𝑓−1(𝐴 ) ∪ 𝑓−1(𝐵) 2. 𝑓−1(𝐴 ∩ 𝐵 ) = 𝑓−1(𝐴 ) ∩ 𝑓−1(𝐵) 3. 𝑓−1(𝐴𝐶 ) = (𝑓−1(𝐴 )) 𝐶 Demostración de 1. Si 𝑥 𝜀 𝑓−1(𝐴 ∪ 𝐵 ) ⇔ 𝑓(𝑥) 𝜀 (𝐴 ∪ 𝐵 ) ⇔ 𝑓(𝑥) 𝜀 𝐴 ∪ 𝑓(𝑥) 𝜀 𝐵 ⇔ 𝑥 𝜀 𝑓−1(𝐴) ∪ 𝑥 𝜀 𝑓−1(𝐵) ⇔ 𝑥 𝜀[ 𝑓−1(𝐴) ∪ 𝑥 𝜀 𝑓−1(𝐵)] ∴ 𝑓−1(𝐴 ∪ 𝐵 ) = 𝑓−1(𝐴 ) ∪ 𝑓−1(𝐵) Demostración de 2. Si 𝑥 𝜀 𝑓−1(𝐴 ∩ 𝐵 ) ⇔ 𝑓(𝑥) 𝜀 (𝐴 ∩ 𝐵 ) ⇔ 𝑓(𝑥) 𝜀 𝐴 ∧ 𝑓(𝑥) 𝜀 𝐵 ⇔ 𝑥 𝜀 𝑓−1(𝐴) ∧ 𝑥 𝜀 𝑓−1(𝐵) ⇔ 𝑥 𝜀[ 𝑓−1(𝐴) ∩ 𝑥 𝜀 𝑓−1(𝐵)] ∴ 𝑓−1(𝐴 ∩ 𝐵 ) = 𝑓−1(𝐴 ) ∩ 𝑓−1(𝐵) Demostración de 3. Si 𝑥 𝜀 𝑓−1(𝐴𝐶 ) ⇔ 𝑓(𝑥) 𝜀 (𝐴𝐶 ) ⇔ 𝑓(𝑥) ∉ 𝐴 ⇔ 𝑥 ∉ 𝑓−1(𝐴 ) ⇔ 𝑥 𝜀 (𝑓−1(𝐴 )) 𝐶 ∴ 𝑓−1(𝐴𝐶 ) = (𝑓−1(𝐴 )) 𝐶 45 Definición. Sea 𝑓 ∶ ℝ → ℝ / 𝑦 = 𝑓(𝑥), la función 𝑓 es continua si la imagen inversa según 𝑓 de todo conjunto 𝒰 − 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 es un conjunto 𝒰 − 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜, es decir 𝑓 es continua ⇔ ∀ 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝐺,𝒰 − 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 ⇒ 𝑓−1(𝐺) 𝑒𝑠 𝒰 − 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 Definición. Sea 𝑓 ∶ ℝ → ℝ / 𝑦 = 𝑓(𝑥), la función 𝑓 no es continua si existe por lo menos un conjunto 𝒰 − 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 cuya imagen inversa según 𝑓 no es un conjunto 𝒰 − 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜, es decir 𝑓 no es continua ⇔ ∃ 𝑢𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝐺,𝒰 − 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 ⇒ 𝑓−1(𝐺) 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝒰 − 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 Ejemplo 1. Sea 𝑓 ∶ ℝ → ℝ / 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥 determinar si la función 𝑓 es continua. Resolución 𝑓 es continua ⇔ ∀ 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝐺,𝒰 − 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 ⇒ 𝑓−1(𝐺) 𝑒𝑠 𝒰 − 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 ∀ 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝐺,𝒰 − 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 ⇔ 𝑥 𝜀 𝑓−1(𝐺) ⇔ 𝑓(𝑥) = 𝐺 ⇔ 𝑥 = 𝐺 ∴ 𝑓−1(𝐺) = 𝐺 𝑒𝑠 𝒰 − 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 Luego 𝑓 es continua. Geométricamente 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥2 determinar si la función 𝑓 es 2. Sea 𝑓 ∶ ℝ → ℝ / continua. Resolución 𝑓 es continua ⇔ ∀ 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝐺,𝒰 − 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 ⇒ 𝑓−1(𝐺) 𝑒𝑠 𝒰 − 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 〈 〉 𝐺 〈 〉 𝑓−1(𝐺) = 𝐺 0 46 En efecto i) ∀ 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝐺 = 〈𝑎, 𝑏〉 , 𝑎 ≥ 0 𝑥 𝜀 𝑓−1(𝐺) ⇔ 𝑓(𝑥) 𝜀 𝐺 ⇔ 𝑥2 𝜀 𝐺 ⇔ 𝑥2 𝜀 〈𝑎, 𝑏〉 ⇔ 𝑎 < 𝑥2 < 𝑏 ⇔ √𝑎 < √𝑥2 < √𝑏 ⇔ √𝑎 < |𝑥| < √𝑏 ⇔ (𝑥 < −√𝑎 ∨ 𝑥 > √𝑎) ∧ (−√𝑏 < 𝑥 < √𝑏) ⇔ [(𝑥 < −√𝑎) ∧ (−√𝑏 < 𝑥 < √𝑏)] ∨ [(𝑥 > √𝑎) ∧ (−√𝑏 < 𝑥 < √𝑏)] ⇔ (−√𝑏 < 𝑥 < −√𝑎) ∨ (√𝑎 < 𝑥 < √𝑏) ⇔ 𝑥 𝜀 < −√𝑏 , −√𝑎 > ∨ 𝑥 𝜀 < √𝑎 , √𝑏 > ⇔ 𝑥 𝜀 < −√𝑏 , −√𝑎 > ∪ < √𝑎 , √𝑏 > ∴ 𝑓−1(𝐺) = < −√𝑏 , −√𝑎 >⏟ 𝒰−𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 ∪ < √𝑎 , √𝑏 >⏟ 𝒰−𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 𝑓−1(𝐺) = 𝒰 − 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 ∴ 𝑓 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 ii) Si 𝐺 = 〈0, 𝑐〉 𝑥 𝜀 𝑓−1(𝐺) ⇔ 𝑓(𝑥) 𝜀 𝐺 ⇔ 𝑥2 𝜀 𝐺 ⇔ 𝑥2 𝜀 〈0, 𝑐〉 ⇔ 0 < 𝑥2 < 𝑐 ⇔ 0 < √𝑥2 < √𝑐 ⇔ 0 < |𝑥| < √𝑐 ⇔ 0 < |𝑥| ∧ |𝑥| < √𝑐 ⇔ (𝑥 < 0 ∨ 𝑥 > 0) ∧ (−√𝑐 < 𝑥 < √𝑐) ⇔ [(𝑥 < 0) ∧ (−√𝑐 < 𝑥 < √𝑐)] ∨ [(𝑥 > 0) ∧ (−√𝑐 < 𝑥 < √𝑐)] ⇔ (−√𝑐 < 𝑥 < 0) ∨ (0 < 𝑥 < √𝑐) ⇔ 𝑥 𝜀 < −√𝑐 ,0 > ∨ 𝑥 𝜀 < 0, √𝑐 > ⇔ 𝑥 𝜀 < −√𝑐 ,0 > ∪ < 0 , √𝑐 > ∴ 𝑓−1(𝐺) = < −√𝑐 ,0 >⏟ 𝒰−𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 ∪ < 0 , √𝑐 >⏟ 𝒰−𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 𝑓−1(𝐺) = 𝒰 − 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 ∴ 𝑓 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 iii) Si 𝐺 = 〈𝑐, 𝑑〉 donde 𝑐 < 0 < 𝑑 47 𝑥 𝜀 𝑓−1(𝐺) ⇔ 𝑓(𝑥) 𝜀 𝐺 ⇔ 𝑥2 𝜀 𝐺 ⇔ 𝑥2 𝜀 〈𝑐, 𝑑〉 con 𝑐 < 0 ⇔ 𝑥2 < 𝑑 con 𝑐 < 0 ⇔ √𝑥2 < √𝑑 ⇔ |𝑥| < √𝑑 ⇔ (−√𝑑 < 𝑥 < √𝑑) ⇔ 𝑥 𝜀 < −√𝑑 , √𝑑 > ∴ 𝑓−1(𝐺) = < −√𝑑 , √𝑑 >⏟ 𝒰−𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 𝑓−1(𝐺) = 𝒰 − 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 ∴ 𝑓 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 Geométricamente Cundo 𝐺 = 〈𝑎, 𝑏〉 , 𝑎 ≥ 0 y si 𝐺 = 〈0, 𝑐〉 Cuando 𝐺 = 〈𝑐, 𝑑〉 donde 𝑐 < 0 < 𝑑 vemos ahora que el concepto de continuidad se ha extendido más allá de los espacios métricos creando de esta manera los espacios topológicos, a pesar de que pueden aparecer espacios topológicos que no sean métricos. Pero como se ha visto, para hablar de continuidad basta definir cuáles son los abiertos, ¿pero ¿cómo hacerlo si no podemos determinar los puntos cercanos a uno dado, puesto 〈 〉 𝑎 𝑏 𝐺 ᇩ ᇭ ᇪ ᇭ ᇫ −√𝑏 − √𝑎⏟ 𝒰−𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 √𝑎 √𝑏⏟ 𝒰−𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 0 −√𝑐 √𝑐⏟ 𝒰−𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 𝑐 𝐺 〈 〉 𝑑 0 −√𝑑 √𝑑⏟ 𝒰−𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 𝑐 𝐺 48 que no tenemos una distancia con que medir? Para responder a esta interrogante recordemos dos propiedades que satisfacen los abiertos en los espacios métricos i) La unión arbitraria de abiertos es un abierto ii) La intersección finita de abiertos es un abierto y al matemático Johann Benedict Listin, alumno de Gauss, quien en 1847 introdujo por primera vez palabra topología dado que los abiertos especifican la continuidad y por lo tanto la forma, por lo que podemos definir a la topología como la ciencia de la forma. Así también, la definición de espacios topológicos en el sentido moderno se debe a Félix Hausdorff (1914), quien axiomatizaba las ideas de David Hilbert y Hermann Weyl, que estaba basado en el concepto de entorno, si bien es cierto que Hausdorff llamó espacio topológico, en la actualidad se conoce como espacio de Haudorff. En esta parte del trabajo estudiaremos el concepto de topología y de espacio topológico, así como las operaciones más importantes que permitan construir unos espacios topológicos a partir de otros e incursionar en la teoría de grafos, dado que la teoría de grafos está ligada a la topología; históricamente en la evolución de la topología se estudian de manera muy intuitiva a través de tres teorías topológicas: 1) La teoría de grafos. 2) La teoría de nudos 3) La teoría de superficies La noción de topología es una generalización de alguna de las propiedades que poseen los intervalos abiertos en la recta ℝ, o los conjuntos abiertos en ℝ𝑛, propiedades independientes de otras presentes en ℝ, o en ℝ𝑛, como la suma, el orden o la distancia. Por lo que expondremos algunas de esas propiedades cualitativas que, haciendo abstracción de toda medida y magnitud, son fundamento de la topología, por lo que estamos en condiciones de definir el objetivo de estudio en topología que son los espacios topológicos Definición Dado un conjunto 𝑋 ≠ 𝜙, decimos que 𝒯 es una topología definida sobre 𝑋 si 𝒯 es una colección o familia de subconjuntos de 𝑋, (es decir 𝒯 ⊆ 𝒫(𝑋)) tales que: i) 𝜙, 𝑋 𝜀 𝒯. ii) Si 𝐺𝛼 𝜀 𝒯, ∀𝛼 𝜀 𝜆 ⇒ ⋃{ 𝐺𝛼: 𝛼 𝜀 𝜆} 𝜀 𝒯 lo que podemos escribirlo como {𝐺𝛼}𝛼 𝜀 𝜆 𝜀 𝒯 ⇒ ⋃ 𝐺𝛼 𝜀 𝒯 𝛼 𝜀 𝜆 49 Que literalmente se entiende como: Si 𝐺𝛼 es una familia arbitraria de elementos de 𝒯 la unión de cualquier número de conjuntos de 𝒯 también pertenecen a 𝒯. iii) Si 𝐺1, 𝐺2, … , 𝐺𝑛 𝜀 𝒯, ∀ 𝑖 = 1,2,… , 𝑛 ⇒∩ {𝐺𝑖: 𝑖 = 1,2,… , 𝑛} 𝜀 𝒯 o también podemos escribirlo como {𝐺𝑖}𝑖=1 𝑛 ⇒⋂𝐺𝑖 𝑛 𝑖=1 𝜀 𝒯 Que literalmente se entiende como: Si 𝐺𝑖 es una familia o colección finita de elementos de 𝒯 la intersección de cualquier número de conjuntos de 𝒯 también es finita y pertenecen a 𝒯 Nota 1) A los elementos de la colección 𝒯 se les llama abiertos de (𝑋, 𝒯) o simplemente 𝒯 − 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜𝑠 2) Al par formado por el conjunto total 𝑋 y la topología 𝒯 se llama Espacio Topológico. Por lo tanto (𝑋, 𝒯) es un Espacio topológico. 3) Como en los espacios métricos, muchas veces al par (𝑋, 𝒯) se le abrevia por 𝑋 si 𝒯 se sobreentiende, teniendo en cuenta que 𝒯 es una topología distinta en cada caso. 4) Si 𝐺𝛼 𝜀 𝒯 , ∀𝛼 𝜀 𝜆 ⇒ 𝐺𝛼 𝜀 𝒯 − 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 Vamos a demostrar que una distancia 𝑑 sobre un conjunto 𝑋 ≠ 𝜙 siempre define una topología sobre el conjunto 𝑋, de tal modo que todo espacio métrico es un espacio topológico. Para ello se debe definir en un espacio métrico (𝑋, 𝑑) el concepto de entorno de un punto y de subconjunto abierto. Definición Un subconjunto 𝑉 ⊆ 𝑋 es un entorno de 𝑥 𝜀 𝑋,si ∃ 𝑟 > 0 tal que 𝐵(𝑥, 𝑟) ⊆ 𝑉 Definición Un subconjunto 𝐺 ⊆ 𝑋 es un abierto de (𝑋, 𝑑), si es entono de todos sus puntos, es decir si ∀ 𝑥 𝜀 𝐺 ∃ 𝑟 > 0 tal que 𝐵(𝑥, 𝑟) ⊆ 𝐺 o equivalentemente si 𝐺 se puede escribir como unión arbitraria de bolas abiertas Propiedades de los conjuntos abiertos en un espacio métrico Si llamamos 𝒯𝑑 al conjunto de todos los abiertos de un espacio métrico (𝑋, 𝑑), entonces se verifica las siguientes Propiedades 50 i) 𝜙 𝜀 𝒯𝑑 , 𝑋 𝜀 𝒯𝑑 Demostración. 𝜙 𝜀 𝒯𝑑 porque 𝜙 es abierto en (𝑋, 𝑑) por lo tanto 𝜙 es 𝑑 − 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 𝑋 𝜀 𝒯𝑑 porque 𝑋 es abierto en (𝑋, 𝑑) por lo tanto 𝑋 es 𝑑 − 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 ii) {𝐺𝑖}𝑖 𝜀 𝐼 𝜀 𝒯𝑑 ⇒⋃𝐺𝑖 𝜀 𝒯𝑑 𝑖 𝜀 𝐼 Demostración. Si 𝑥 𝜀⋃𝐺𝑖 𝜀 𝒯𝑑 𝑖 𝜀 𝐼 ⇒ ∃ 𝛼 ε 𝐼 ∶ 𝑥 𝜀 𝐺𝛼 Como todos los 𝐺𝑖 son abiertos en (𝑋, 𝑑), incluido el propio 𝐺𝛼 entonces ∃ 𝑟 > 0 tal que 𝐵(𝑋, 𝑟) ⊆ 𝐺𝛼 ⊆⋃𝐺𝑖 𝜀 𝒯𝑑 𝑖 𝜀 𝐼 iii) ∀ 𝐺1, 𝐺2 𝜀 𝒯𝑑 ⇒ 𝐺1 ∩ 𝐺2 𝜀 𝒯𝑑 Demostración Si 𝑥 𝜀 𝐺1 ∩ 𝐺2 ⇒ 𝑥 𝜀 𝐺1 ∧ 𝑥 𝜀 𝐺2 Como ambos son abiertos en (𝑋, 𝑑), entonces existen dos radios 𝑟1 > 0 , 𝑟2 > 0 tales que 𝐵(𝑋, 𝑟1) ⊆ 𝐺1 y 𝐵(𝑋, 𝑟2) ⊆ 𝐺2 Tomando 𝑟 = min{𝑟1, 𝑟2} para obtener 𝐵(𝑋, 𝑟) ⊆ 𝐺1 ∩ 𝐺2 𝜀 𝒯𝑑 Estas propiedades expuestas describen a los subconjuntos 𝑑 − 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜, de un espacio métrico (𝑋, 𝑑), por lo que toda métrica induce de modo natural una topología, es decir, si (𝑋, 𝑑) es un espacio métrico, también podemos considerarlo como un espacio topológico (𝑋, 𝒯𝑑) donde todas las métrica asociadas a normas en ℝ𝑛 inducen la misma topología que recibe el nombre de topología usual o normal, sin embargo, esta afirmación no es extensible a cualquier métrica sobre ℝ𝑛, sino exclusivamente a aquellas asociadas a normas Concretamente, la topología usual sobre ℝ es la topología inducida por la distancia usual 𝒯𝑢𝑠𝑢𝑎𝑙 = 𝒯𝑑𝑢𝑠𝑢𝑎𝑙 𝒯𝒰 = 𝒯𝑑 = 𝒰 = {𝐺 ⊆ ℝ:𝐺 𝑒𝑠 𝒰 − 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜} = {𝑢𝑛𝑖ó𝑛 𝑎𝑟𝑏𝑖𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑏𝑜𝑙𝑎𝑠 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑎𝑠} 51 En ℝ𝑛, con 𝑛 ≥ 2, podemos considerar la topología usual como la inducida por 𝑑1, 𝑑2 𝑜 𝑑∞ y en general por cualquier otra distancia asociada a una norma, es decir, los abiertos son uniones arbitrarias de bolas abiertas con cada una de esas métricas Siempre que hablemos de un subconjunto de ℝ𝑛 sin especificar su topología supondremos que se trata de la topología usual. Ejemplo Definición 1. Si 𝑋 = ℝ y 𝒰 = {𝐺 ⊆ ℝ:𝐺 𝑒𝑠 𝒰 − 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜} Se verificar que 𝒰 es una topología para ℝ Resolución Para que 𝒰 sea una topología para ℝ debe cumplir i) 𝜙 𝜀 𝒰 y 𝑋 𝜀 𝒰. En efecto 𝜙 𝜀 𝒰 porque 𝜙 es 𝒰 − abierto en (ℝ,𝒰) por lo tanto 𝜙 es 𝒰 − 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 𝑋 𝜀 𝒰 porque 𝑋 es abierto en (ℝ,𝒰) por lo tanto 𝑋 es 𝒰 − 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 ii) {𝐺𝑖}𝑖 𝜀 𝐼 𝜀 𝒰 ⇒⋃𝐺𝑖 𝜀 𝒰 𝑖 𝜀 𝐼 En efecto Como {𝐺𝑖}𝑖 𝜀 𝐼 𝜀 𝒰 ⇒ 𝐺𝑖 𝑠𝑜𝑛 𝒰 − 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜𝑠 ⇒ 𝐺𝑖 𝜀 𝒰 ⇒⋃𝐺𝑖 𝑠𝑜𝑛 𝒰 − 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜𝑠 𝑖 𝜀 𝐼 ⇒⋃𝐺𝑖 𝜀 𝒰 𝑖 𝜀 𝐼 iii) ∀ 𝐺1, 𝐺2, … , 𝐺𝑛 𝜀 𝒰 ⇒ 𝐺1 ∩ 𝐺2 ∩ …∩ 𝐺𝑛 𝜀 𝒰 ⇒⋂𝐺𝑖 𝑛 𝑖=1 𝜀 𝒰 En efecto Como 𝐺1, 𝐺2, … , 𝐺𝑛 𝜀 𝒰 ⇒ 𝐺1, 𝐺2, … , 𝐺𝑛 cada uno de los 𝐺𝑖 son 𝒰 − 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜𝑠 ⇒⋂𝐺𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑠𝑜𝑛 𝒰 − 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜𝑠 ⇒⋂𝐺𝑖 𝑛 𝑖=1 𝜀 𝒰 Por lo tanto 𝒰 es una topología en ℝ y a esta topología se le llama topología usual o normal, así mismo (ℝ,𝒰) es un espacio topológico sobre ℝ y los elementos de 𝒰 se llama abiertos de (ℝ,𝒰) o simplemente 𝒰 − 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜𝑠 Nota Todo conjunto 𝑋 ≠ 𝜙, tiene dos topologías llamadas triviales: 52 i) Una topología Indiscreta o grosera, se representa por ℐ cuyos únicos elementos son los abiertos 𝑋 y 𝜙. Es decir ℐ = {𝑋, 𝜙} es la menor topología posible, pues tiene únicamente los abiertos exigidos por la definición. El par (𝑋, ℐ) es un espacio topológico indiscreto o grosero sobre 𝑋 y sus elementos se les llama ℐ − 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜𝑠 ii) Otra topología trivial es la topología Discreta que se representa por 𝔇 la cual está formada por todos los subconjuntos de 𝑋. Es decir 𝔇 = 𝒫(𝑋) y es la mayor topología que puede definirse en un conjunto, en que todos sus subconjuntos son abiertos. El par (𝑋, 𝔇) = (𝑋,𝒫(𝑋)) es un espacio topológico discreto Nota. La topología Indiscreta está contenida en la topología Discreta, es decir ℐ ⊂ 𝔇, Ejemplo 1. Asumamos que 𝑋 = {1,2}, entonces ℐ = {𝜙, 𝑋} y 𝔇 = { 𝜙, 𝑋. {1}, {2}} ∴ ℐ ⊂ 𝔇 2. Sea 𝑋 = ℝ, 𝒰 = {𝐺 ⊂ ℝ:𝐺 𝑒𝑠 𝒰 − 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜} Entonces ℐ = {𝜙, ℝ} ; 𝔇 = 𝒫(𝑋) = {𝐺 ∶ 𝐺 ⊂ ℝ} En esta topología todos los subconjuntos de ℝ son abiertos ∴ ℐ ⊂ 𝒰 ⊂ 𝔇 Ejemplo Definición. 2. Sea 𝑋 un conjunto finito (es decir 𝑋 ≠ 𝜙) y sea el conjunto 𝒯 = 𝒞 ⊆ 𝒫(𝑋) tal que: 𝒯 = 𝒞 = {𝐴 ⊂ 𝑋: 𝐴𝐶 𝑒𝑠 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜 𝑜 𝐴 = 𝜙} Podemos afirmar que si 𝐴 𝜀 𝒯 = 𝒞 ⇔ A es 𝒯 = 𝒞 − abierto ⇔ { A = 𝜙 A ≠ 𝜙, 𝑒𝑠 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜 entonces demostraremos que 𝒯 = 𝒞 es una topología para 𝑋, que se llama topología cofinita para 𝑋, por lo tanto el par (𝑋, 𝒞) es un espacio topológico. Demostremos que 𝒯 = 𝒞 = {𝐴 ⊂ 𝑋: 𝐴𝐶 𝑒𝑠 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜 𝑜 𝐴 = 𝜙} es una topología para 𝑋. 53 Demostración Vemos que es necesario chequera que 𝒯 = 𝒞 cumple las tres condiciones de la definición de topología i) 𝜙 𝜀 𝒯 = 𝒞 , por definición de 𝒯 = 𝒞 𝑋 𝜀 𝒯 = 𝒞 si es que 𝑋𝐶 es finito, pero el 𝑋𝐶 = 𝜙 entonces 𝑋𝐶 = 𝜙 es finito ii) 𝐴𝑖 𝜀 𝒯 = 𝒞 , ∀ 𝑖 𝜀 𝐼 ⇒ ⋃𝐴𝑖 𝜀 𝒯 = 𝒞 𝑖 𝜀 𝐼 En efecto ⋃𝐴𝑖 𝜀 𝒯 = 𝒞 𝑖 𝜀 𝐼 ⇔ (⋃𝐴𝑖 𝑖 𝜀 𝐼 ) 𝐶 𝑒𝑠 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜 Probaremos que (⋃𝐴𝑖 𝑖 𝜀 𝐼 ) 𝐶 𝑒𝑠 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜 Por la Ley de Morgan se cumple que (⋃𝐴𝑖 𝑖 𝜀 𝐼 ) 𝐶 =⋂(𝐴𝑖) 𝐶 𝑖 𝜀 𝐼 Como 𝐴𝑖 𝜀 𝒯 = 𝒞 , ∀ 𝑖 𝜀 𝐼 ⇒ (𝐴𝑖) 𝐶 es finito ∀ 𝑖 𝜀 𝐼. Además ⋂(𝐴𝑖) 𝐶 𝑖 𝜀 𝐼 ⊂ (𝐴𝑖) 𝐶⏟ 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜 , ∀ 𝑖 𝜀 𝐼 ⇒ ⋂(𝐴𝑖) 𝐶 𝑖 𝜀 𝐼 𝑒𝑠 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜 ⇒ (⋃𝐴𝑖 𝑖 𝜀 𝐼 ) 𝐶 𝑒𝑠 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜 ⇒ ⋃𝐴𝑖 𝜀 𝒯 = 𝒞 𝑖 𝜀 𝐼 iii) 𝐴1, 𝐴2 , … , 𝐴𝑛 𝜀 𝒯 = 𝒞 ⇒ ⋂𝐴𝑖 𝑛 𝑖=1 𝜀 𝒯 = 𝒞 En efecto ⋂𝐴𝑖 𝑛 𝑖=1 𝜀 𝒯 = 𝒞 ⇔ (⋂𝐴𝑖 𝑛 𝑖=1 ) 𝐶 𝑒𝑠 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜 Probaremos que (⋂𝐴𝑖 𝑛 𝑖=1 ) 𝐶 𝑒𝑠 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜 Por la Ley de Morgan se cumple que 54 (⋂𝐴𝑖 𝑛 𝑖=1 ) 𝐶 =⋃(𝐴𝑖) 𝐶 𝑛 𝑖=1 Como: 𝐴𝑖 𝜀 𝒯 = 𝒞, ∀ 𝑖 = 1,2,… , 𝑛 ⇒ (𝐴𝑖) 𝐶 𝑒𝑠 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜, ∀ 𝑖 = 1,2,… , 𝑛 ⇒⋃(𝐴𝑖) 𝐶 𝑛 𝑖=1 𝑒𝑠 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜 Puesto que la unión de una familia finita de conjuntos finitos es finita ∴ (⋂𝐴𝑖 𝑛 𝑖=1 ) 𝐶 𝑒𝑠 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜 ⇒ ⋂𝐴𝑖 𝑛 𝑖=1 𝜀 𝒯 = 𝒞 ∴ 𝒯 = 𝒞 es una topología para 𝑋 ⇒ ⋂𝐴𝑖 𝑛 𝑖=1 ⊂ 𝐴𝑖 ⊂⋃𝐴𝑖 𝑖 𝜀 𝐼 Daremos algunas definiciones que también usaremos en el presente trabajo Definición Sea (𝑋, ℐ) un espacio topológico 1. Un sub conjunto 𝐵 ⊂ 𝑋 se dice cerrado si su complemento es abierto. Por lo tanto, se tiene que la unión de una cantidad finita de conjunto cerrados es cerrada y la intersección de una cantidad arbitraria de cerrados es cerrada. 2. Diremos que 𝑉 es entorno de un punto 𝑥 𝜀 𝑋 si se cumple que 𝑥 𝜀 𝐴 ⊂ 𝑉 para algún abierto 𝐴. 3. Un punto 𝑥 𝜀 𝑋 es de acumulación de un subconjunto 𝐴 de 𝑋 si todo entorno 𝑉 de 𝑥 contiene algún punto de 𝐴 diferente de 𝑥. 4. Un punto 𝑥 𝜀 𝑋 es interior de un subconjunto 𝐴 de 𝑋 si existe un entorno 𝑉 de 𝑥 que está contenido en 𝐴. 5. Un punto 𝑥 𝜀 𝑋 es frontera o borde de un subconjunto 𝐴 de 𝑋 si todo entorno 𝑉 de 𝑥 intersecta a 𝐴 y 𝐴𝐶 diferente de 𝑥 6. Una sucesión {𝑥𝑛 ∶ 𝑛 𝜀 ℕ} converge a un punto 𝑥 𝜀 𝑋 Si dado cualquier entorno 𝑉 de 𝑥 existe un 𝑛0 tal que 𝑥𝑛 𝜀 𝑉 para todo 𝑛 ≥ 𝑛0 Nota En las definiciones anteriores puede sustituirse los entornos por entono abierto Propiedades Sea 𝑋 un espacio topológico entonces se cumple 55 1. Un sub conjunto 𝐴 de 𝑋 es abierto si y sólo si todos sus puntos son interiores. 2. Un sub conjunto 𝐴 de 𝑋 es cerrado si y sólo si contiene a todos sus puntos de acumulación. 3. Un sub conjunto 𝐴 de 𝑋 es cerrado si y sólo si contiene a todos sus puntos frontera. Definición Sea 𝐴 un sub conjunto de 𝑋. Se define la clausura de 𝐴 como la intersección de todos los cerrados que contienen a 𝐴. Se denota como 𝐶𝑙(𝐴) = 𝐴. Definición Sea 𝐴 un sub conjunto de 𝑋. Se define el interior de 𝐴 como la unión de todos los abiertos contenidos en 𝐴. Se denota como 𝐼𝑛𝑡 (𝐴) =Å , también como 𝐴° Definición El conjunto de puntos frontera de 𝐴 se llama frontera de 𝐴 y se denota como 𝑓𝑟 (𝐴) = 𝜕𝐴. Nota 1. 𝐴 es un conjunto cerrado, puesto que la intersección de cerrados es cerrada, por lo tanto es el mínimo cerrado que contiene a 𝐴. 2. 𝐴° es un conjunto abierto, por lo tanto es el máximo abierto contenido en 𝐴 3. 𝐴 es la unión de 𝐴 con el conjunto de puntos de acumulación de 𝐴. Se dice que 𝐴 es cerrado si y sólo si coincide con su clausura 4. 𝐴° es el conjunto de todos los puntos interiores de 𝐴. Se deduce que 𝐴 es abierto si y sólo si coincide con su interior. 5. La clausura de la unión de finitos conjuntos es igual a la unión de las clausuras. Si son infinitos conjuntos solo vale una contención. 6. Se tiene que 𝐴 ∩ 𝐵 ⊂ 𝐴 ∩ 𝐵 donde la contención es estricta 7. Se cumplen: (𝐴) 𝐶 = (𝐴𝐶)𝑂 y (𝐴𝐶) = (𝐴𝑜)𝐶 Nota. 1. Una manera de crear artificialmente una topología es dividir el conjunto en unos cuantos trozos y hacer todas las uniones e intersecciones necesarias para que se satisfaga la definición de topología. 2. La propiedad de ser abierto o cerrado es independiente la una de la otra. Un conjunto puede ser simultáneamente abierto y cerrado, abierto y no cerrado, cerrado y no abierto o ninguna de las dos propiedades 56 3. En una topología la intersección infinita de abiertos o la unión infinita de cerrados no tiene por qué ser un abierto o un cerrado respectivamente. 4. Si 𝑋 es un conjunto finito, todos sus subconjuntos son abiertos con la topología Cofinita, por tanto está pierde interés ya que coincide con la discreta. 5. Cuando Félix Hausdorff introdujo el concepto de Espacio Topológico en términos de entornos, exigió una propiedad completamente natural, pero que en la definición general moderna se ha eliminado porque existen algunas topologías de interés que no la satisfacen Definición Se dice que un espacio topológico (𝑋, ℱ) cumple la propiedad 𝑇0 si cuando 𝑥 , 𝑦 son dos puntos distintos en 𝑋, existe un abierto que contiene sólo a uno de ellos. 𝑇1 si cuando 𝑥 , 𝑦 son dos puntos distintos en 𝑋, existe un abierto 𝑈 tal que 𝑥 𝜀 𝑈, 𝑦 ∉ 𝑈 𝑇2 si cuando 𝑢 , 𝑣 𝜀 𝑋 son dos puntos distintos, existe abiertos disjuntos 𝑈 , 𝑉 en 𝑋 tal que 𝑢 𝜀 𝑈, 𝑣 𝜀 𝑉 Nota. La propiedad 𝑇2 se llama también propiedad de Hausdorff y los espacios que la cumplen se llaman espacios de Hausdorff Definición. Un espacio topológico (𝑋, ℱ) es de Hausdorff, o llamado también espacio 𝑇2 si se cumple que para todo par de puntos distintos 𝑥 e 𝑦, de 𝑋 existen ℱ - entornos 𝑉 de 𝑥 y 𝑊 de 𝑦 tales que 𝑉 ∩𝑊 = 𝜙 Nota. 1. Si (𝑋, ℱ) es un espacio de Hausdorff entonces ℱ se llama una topología de Hausdorff en 𝑋. 2. Si 𝑋 es un espacio topológico de Hausdorff, entonces una sucesión converge a lo más a un punto. 3. Si (𝑋, ℱ) es un espacio de Hausdorff y 𝑝 𝜀 𝑋 entonces el conjunto {𝑝} 𝑒𝑠 ℱ − 𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑜. 4. Cuando Hausdorff introdujo el concepto de Espacio Topológico en términos de entornos, exigió una propiedad completamente natural, pero que en la definición general moderna se ha eliminado porque existen algunas topologías de interés que no la satisfacen 57 Enseguida veremos cómo generar topologías a partir de otras conocidas, lo que motiva a la siguiente Definición Decimos que ℬ ⊂ 𝒫(𝑋) es base de una topología 𝒯ℬ de un conjunto 𝑋 si cumplen: i) La unión de todos los elementos de ℬ es 𝑋, es decir 𝑋 =⋃𝐵 𝐵𝜀ℬ ii) Dados 𝐵1 y 𝐵2 elementos de ℬ y un punto 𝑥 𝜀 𝐵1 ∩ 𝐵2 existe 𝐵 de ℬ tal que 𝑥 𝜀 𝐵 ⊂ 𝐵1 ∩ 𝐵2 Nota 1. Los 𝐵 𝜀 ℬ se llaman abiertos básicos 2. Si ℬ es una base de una topología de 𝑋 y se define 𝒯 como el conjunto de todas las uniones de elementos de ℬ más el vacío, entonces 𝒯 es una topología de 𝑋, que se llama topología generada por ℬ, se denota 𝒯ℬ = {𝒰 ⊂ 𝑋, ∀ 𝑥 𝜀 𝒰, ∃𝐵𝑥 𝜀 ℬ 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑥 𝜀 𝐵𝑥 ⊆ 𝒰} 3. 𝒯 es la mínima topología de 𝑋 que contiene a todos los elementos de ℬ, también se dice en este caso que ℬ es base de 𝒯 Definición Sea (𝑋, 𝒯) un espacio topológico y sea 𝒮 ⊂ 𝒯 una familia de subconjuntos abiertos de 𝑋, entonces 𝒮 es una subbase de la topología 𝒯 de 𝑋 si y sólo si las intersecciones finitas de elementos de 𝒮 determinan una base de 𝒯. Definición Una función 𝑓: 𝑋 → 𝑌 entre espacios topológicos (𝑋, 𝒯𝑋) e (𝑌, 𝒯𝑌) es continua si 𝑓−1(𝐴) 𝜀 𝒯𝑋 para cada 𝐴 𝜀 𝒯𝑌. Nota Obviamente la continuidad depende de las topologías en 𝑋 e 𝑌. Ejemplo Si 𝒯1 y 𝒯2 son topologías en un conjunto 𝑋, entonces la función identidad 𝑖𝑑: (𝑋, 𝒯1) → (𝑋, 𝒯2) es continua si u sólo si 𝒯1 ⊃ 𝒯2, en este caso diremos que la topología 𝒯1 es más fina que 𝒯2. Por eso cuando, cuando hay riesgo de confusión, escribimos 𝑓: (𝑋, 𝒯𝑋) → (𝑌, 𝒯𝑌), para dar a entender con qué topologías estamos considerando dominio y codominio. 58 Definición Sean (𝑋, 𝒯𝑋) → (𝑌, 𝒯𝑌) espacios topológicos. Una función 𝑓: 𝑋 → 𝑌 es continua en 𝑥 si para todo entorno 𝑉 de 𝑓(𝑥) existe un entorno 𝑈 de 𝑋 tal que 𝑓(𝑈) ⊂ 𝑉 Veamos algunas equivalencias Sea 𝑓: (𝑋, 𝒯𝑋) → (𝑌, 𝒯𝑌) , son equivalentes 1. 𝑓 es continua. 2. 𝑓 es continua en 𝑥 para todo 𝑥 𝜀 𝑋 3. 𝑓−1(𝐶) es cerrado en 𝒯𝑋 para cada 𝐶 cerrado en 𝒯𝑌 4. Para todo subconjunto 𝐴 ⊂ 𝑋 , se cumple que 𝑓(𝐴) ⊃ 𝑓(𝐴) Nota Si 𝑋 es un espacio métrico, la condición que para todo subconjunto 𝐴 ⊂ 𝑋, se cumple que 𝑓(𝐴) ⊃ 𝑓(𝐴) es equivalente a la noción de continuidad por sucesiones. Homeomorfismos [6] La palabra homeomorfismo proviene el griego homonios = misma y morphé = forma. En topología es una función de un espacio topológico a otro que cumple con ser una función biyectiva y continua y cuya inversa es continua. En este caso, los dos espacios topológicos se dicen homeomorfos Este concepto tiene mucha importancia en topología, ya que dos espacios topológicos que sean homomorfosis se pueden considerar iguales topológicamente. En esta parte del trabajo investigaremos, la equivalencia topológica; cuando se define una estructura matemática sobre ciertos conjuntos, la igualdad de estas estructuras debe de obligar a que los conjuntos subyacentes sean equivalentes. Así las igualdades entre las estructuras dadas deben realizarse a través de una función biyectiva, además de esta condición se debe de imponer que esta función y su inversa conserven la estructura. Así la igualdad topológica vendrá dada por lo que se llama un homeomorfismo. En algunas estructuras matemáticas, como en los espacios vectoriales, si una función biyectiva 𝑓 conserva la estructura, automáticamente se deduce que su inversa 𝑓−1 también lo hace, sin embargo, esto no ocurre en los espacios topológicos. [7] En matemática resulta esencial reconocer cuando dos estructuras son equivalentes, por ejemplo, en la teoría de conjuntos, dos conjuntos son equivalentes si existe una función biyectiva que transforma un conjunto en el otro. En el álgebra dos grupos son equivalentes o isomorfos, si existe un homomorfismo de uno al otro que es inyectivo y sobreyectivo. 59 [8] En topología dos espacios topológicos son equivalentes o homeomorfos Si existe un homeomorfismo de uno sobre el otro. En esta parte del trabajo investigaremos la equivalencia topológica; cuando se define una estructura matemática sobre ciertos conjuntos, la igualdad de estas estructuras debe de obligar a que los conjuntos subyacentes sean equivalentes. [9] Así las igualdades entre las estructuras dadas deben realizarse a través de una función biyectiva, además de esta condición se debe de imponer que esta función y su inversa conserven la estructura. Así la igualdad topológica vendrá dada por lo que se llama un homeomorfismo. En algunas estructuras matemáticas, como en los espacios vectoriales, si una función biyectiva 𝑓 conserva la estructura, automáticamente se deduce que su inversa 𝑓−1 también lo hace, sin embargo esto no ocurre en los espacios topológicos. [10] En matemática resulta esencial reconocer cuando dos estructuras son equivalentes, por ejemplo, en la teoría de conjuntos, dos conjuntos son equivalentes si existe una función biyectiva que transforma un conjunto en el otro. En el álgebra dos grupos son equivalentes o isomorfos, si existe un homomorfismo de uno al otro que es inyectivo y sobreyectivo. En topología dos espacios topológicos son equivalentes o homeomorfos Si existe un homeomorfismo de uno sobre el otro. Definición. Sean 𝑋 e 𝑌 espacios topológicos y 𝑓 una función de 𝑋 a 𝑌; entonces, 𝑓 es un homeomorfismo si se cumple que: i) 𝑓 es una biyección ii) 𝑓 es continua. iii) 𝑓−1 es continua También la podemos definir de la siguiente manera Definición. Una función biyectiva entre espacios topológicos se dice homeomorfismo si tanto 𝑓 como 𝑓−1 son continuas. En este caso decimos que los espacios son homeomorfos. Definición Dos espacios topológicos 𝑋 , 𝑌 se dicen que son homeomorfos si existe un homeomorfismo 𝑓: 𝑋 → 𝑌, lo que denotaremos como: 𝑋 ≅ 𝑌 o por 𝑋 𝑓 ≅ 𝑌 o (𝑋, 𝒯𝑋) ≅ (𝑌, 𝒯𝑌) 60 Nota 1. Llamaremos propiedad topológica a aquellas propiedades de un espacio topológico que se preserva por homeomorfismos. Es decir, la propiedad es cierta para todos los espacios homeomorfos 𝑓: (𝑋, 𝒯𝑋) ≅ (𝑌, 𝒯𝑌), al sustituir cada subconjunto y cada abierto por su imagen. 2. Es claro que cuando 𝑓 es un homeomorfismo, entonces un conjunto 𝐴 es abierto en 𝑋 si y sólo si su imagen es un abierto en 𝑌. 3. Dos espacios homeomorfos son exactamente el mismo objeto a los ojos de un topólogo. Ejemplo. 1. Si consideramos en todos los casos la topología usual de ℝ o ℝ2, una recta es homeomorfa a una parábola, una elipse homeomorfa a una circunferencia. La composición de homeomorfismos es también un homeomorfismo, por lo que se tiene que la relación "𝑋 e 𝑌" son homeomorfos es de equivalencia. 2. Sean (𝑋, 𝒯𝑋), (𝑌, 𝒯𝑌) espacios topológicos y 𝑓:𝑋 → 𝑌 una biyección, entonces probar que 𝑓 es un homeomorfismo si y sólo si 𝒯𝑋 es la topología inicial de 𝑓 en 𝑋. Resolución Definiremos que es topología inicial: Si, 𝑓: 𝑋 → (𝑌, 𝒯𝑌), llamamos topología inicial = 𝒯𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 a la topología menos fina que garantiza la continuidad de nuestra aplicación 𝑓: (𝑋, 𝒯𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙) → (𝑌, 𝒯𝑌). Ahora si la prueba la realizaremos mediante la doble implicación (⇒) Partiremos del hecho que 𝑓 es un homeomorfismo, se debe probar que 𝒯𝑋 es la topología inicial de 𝑓 en 𝑋. Sea primero 𝐴 𝜀 𝒯𝑋 se quiere ver que 𝐴 𝜀 𝒯𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙. Para ellos tenemos que: 𝐴 𝜀 𝒯𝑋 entonces 𝑓(𝐴) = (𝑓−1)−1(𝐴) 𝜀 𝒯𝑌 pues 𝑓 es abierto Luego 𝐴 = 𝑓−1(𝑓(𝐴)⏟ ⋔ 𝒯𝑌 ) 𝜀 𝒯𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 Falta probar que si 𝐴 𝜀 𝒯𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 entonces 𝐴 𝜀 𝒯𝑋 sin embargo sabemos que 𝒯𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 es la topología menos fina de 𝑋 que hace continua a la aplicación 𝑓 luego por construcción 𝒯𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 ⊂ 𝒯𝑋 (⇐) 61 Ahora partiremos de que 𝒯𝑋 = 𝒯𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 Falta ver que tanto 𝑓 como 𝑓−1 son continuas Tomemos primero que si 𝐵 𝜀 𝒯𝑌 . Queremos ver que si 𝑓−1(𝐵) 𝜀 𝒯𝑋. Pero resulta que: 𝑓−1(𝐵⏟ ⋔ 𝒯𝑌 ) 𝜀 𝒯𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙= 𝒯𝑋 entonces 𝑓 es continua. Para ver si 𝑓−1 es continua elegimos 𝐴 𝜀 𝒯𝑋 luego (𝑓−1)−1(𝐴) = 𝑓(𝐴) = 𝑓(𝑓−1(𝐵)) = 𝐵 𝜀 𝒯𝑌 ⇒ 𝑓−1 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝐴 𝜀 𝒯𝑋 = 𝒯𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 ⇔ 𝐴 = 𝑓−1(𝐵) 𝑐𝑜𝑛 𝐵 𝜀 𝒯𝑌 que es lo que se quería probar. Ejemplo 1. Sea el conjunto 𝑋 = (0,1), con la topología usual y el conjunto 𝑌 = (𝑎, 𝑏) con la topología usual, y consideremos el siguiente grafico Analizar si los espacios (𝑋, 𝒯𝑢𝑠𝑢𝑎𝑙), (𝑌, 𝒯𝑢𝑠𝑢𝑎𝑙) son homoeomorfos. Resolución Se debe definir una función que relacione a los dos conjuntos, tal como 𝑓(𝑥) = 𝑦 = (𝑏 − 𝑎)𝑥 + 𝑎 Se trata de una función lineal, como se sabe esta función 𝑓 es continua, por ser lineal 𝑓 es biyectiva, por ser lineal 𝑓−1 es continua, por ser lineal Por lo tanto se ha probado que (0,1) y (𝑎, 𝑏) son homeomorfos. 2. Es el intervalo conjunto 𝑋 = (− 𝜋 2 , 𝜋 2 ) homeomorfo al conjunto ℝ. ↓ 0 𝑎 1 𝑏 62 Resolución Se debe buscar una función que relacione a los dos conjuntos, en este caso la función será la tangente es decir 𝑓 = 𝑡𝑎𝑔: (− 𝜋 2 , 𝜋 2 ) → ℝ que es una función continua y biyectiva, ahora hay que ver la inversa de la tangente que es el 𝑡𝑎𝑔−1 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑔: ℝ → (− 𝜋 2 , 𝜋 2 ), pero el 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑔 es continua, por lo que se puede afirmar que (− 𝜋 2 , 𝜋 2 ) ≈ ℝ 3. Dados los siguientes espacios topológicos (ℚ, 𝒯𝑢𝑠𝑢𝑎𝑙) y (ℝ,𝒯𝑢𝑠𝑢𝑎𝑙), serán homeomorfos Resolución Debemos de encontrar una función que relacione a los dos conjuntos, y establecer una función que relacione a ellos es muy complicado, entonces aprovechamos el hecho de dos espacios son homeomorfos si se comportan de la misma manera es decir son espacios equivalentes, por lo que deben tener la misma cantidad de elementos, pero sabemos que ambos conjuntos no tienen el mismo cardinal, por lo que podemos afirmar que ℚ ≉ ℝ, por no tener el mismo cardinal Entonces es acá donde empiezan a jugar la importancia de los invariantes topológicos. Así mismo recuerden que |ℕ| = |ℤ| = |ℚ| = ℵ0 = 𝐴𝑙𝑒𝑓 𝑠𝑢𝑏 𝑐𝑒𝑟𝑜 |ℝ| = |𝕀| = ℵ1 = 𝐴𝑙𝑒𝑓 𝑠𝑢𝑏 𝑢𝑛𝑜 4. Tomemos el siguiente conjunto 𝑋 = {1,2,3,4} y construyamos en el dos topologías 𝒯 = {𝑋,𝜙, {1,2, }} y 𝜇 = {𝑋,𝜙, {1,2}, {3,4}}, analizar si estos espacios (𝑋, 𝜇) y (𝑋, 𝒯 ) son homeomorfos. Resolución Debemos de establecer una función que relacione a ambos conjuntos, para lo cual tomemos la función identidad 𝑖𝑋: (𝑋, 𝜇) → (𝑋, 𝒯) entonces sabemos que 𝑖𝑋: es biyectiva, la identidad siempre biyectiva 𝑖𝑋: es continua, recordemos para que sea continua debemos tomar u abierto en la imagen y debo de encontrar un abierto en la pre imagen, entonces lo que tenemos que hacer es tomar la imagen reciproca es decir 𝑖𝑋 −1 𝑖𝑋 −1(𝑋) = 𝑋 𝜀 𝜇 𝑖𝑋 −1(𝜙) = 𝜙 𝜀 𝜇 𝑖𝑋 −1({1,2}) = {1,2} 𝜀 𝜇 63 entonces tenemos que 𝑖𝑋: es continua. Tenemos que ver ahora, si su inversa 𝑖𝑋 −1 en continua Recuerden que su inversa actúa de la siguiente manera tomar abiertos de la pre imagen y obtener abiertos en la imagen. Es decir, calcular la imagen reciproca de la inversa, es decir si tomamos 𝐴 𝜀 𝜇 entonces (𝑖𝑋 −1)−1(𝐴) = 𝑖𝑋(𝐴) = 𝐴 𝜀 𝒯 En nuestro caso {3,4} 𝜀 𝜇 → (𝑖𝑋 −1)−1({3,4}) = 𝑖𝑋({3,4}) = {3,4} ∉ 𝒯 Por lo tanto 𝑖𝑋 −1 no es continua, por lo que los espacios (𝑋, 𝜇) y (𝑋, 𝒯 ) no son homeomorfos. Teoría de Grafos y Aplicaciones Estudiaremos lo concerniente a la Teoría de Grafos, empezaremos comentando que en matemática y en ciencias de la computación, la teoría de grafos llamada también teoría de las gráficas, estudia las propiedades de los grafos o gráficas. Definición [11] Un grafo es un conjunto no vacío, de objetos llamados vértices o nodos y una selección de pares de vértices, llamados aristas o edges (en inglés) que puede ser orientados o no. Usualmente un grafo se representa mediante una serie de puntos que son los vértices conectados por líneas llamada aristas. Algo de Historia [12] En 1736, el trabajo de Leonhatd Euler, sobre el problema de los puentes de Konigsberg es considerado el primer resultado de la teoría de grafos, también se considera uno de los primeros resultados topológicos en geometría, que no depende de ninguna medida. Este ejemplo ilustra la profunda relación entre la teoría de grafos y la topología. En 1845 Gustav Kirchhoff publico sus leyes de los circuitos para calcular el voltaje y la corriente en los circuitos eléctricos. En 1852 Francis Guthrie planteó el problema de los cuatro colores que plantea si es posible, utilizando solamente cuatro colores, colorear cualquier mapa de países de tal forma que dos países vecinos nunca tengan el mismo color. Este problema, que no fue resuelto hasta un siglo después por Kenneth Appel y Wolfgang Haken, puede ser considerado como el nacimiento de la teoría de grafos. Al tratar de resolverlo, los matemáticos definieron términos y conceptos teóricos fundamentales de los grafos. Grafo Un grafo es una estructura formada por una pareja de conjuntos y una función de incidencia tal como 𝐺 = (𝑉, 𝐴, 𝜑),, donde 𝑉 es el conjunto de vértices diferentes el vacío, 64 𝐴 es el conjunto de aristas, este último es un conjunto de pares de la forma (𝑢, 𝑣) tal que 𝑢, 𝑣 𝜀 𝑉, y 𝜑 : 𝐴 → 𝑉(2), donde 𝑉(2) es el conjunto formado por subconjuntos de 1 o 2 elementos de 𝑉 que son los extremos de la arista, para simplificar, notaremos la arista (𝑎, 𝑏) como 𝑎𝑏. En teoría de grafos, sólo queda lo esencial del dibujo: las formas de las aristas no son relevantes, solo importa a qué vértices estan unidas. La posición de los vértices tampoco importa, y se puede variar para obtener un dibujo más claro. Muchas redes de uso cotidiano pueden ser modeladas con un grafo, una red de carreteras que conecta ciudades, una red eléctrica o la